y = f(x), gerçel sayılarda türevlenebilir bir fonksiyon ve
f(2) = f'(2) = \frac{1}{2}'dir.
g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) şeklinde tanımlanan y = g(x) fonksiyonu için g'(2) değeri kaçtır?
A) 4
B) 2
C) 1
D) \frac{1}{2}
E) \frac{1}{5}
Bileşke Fonksiyon ve Çarpımın Türevi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır: [f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x). Çarpım türevi kuralı ise [u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) biçimindedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İç Fonksiyonun Değerini ve Türevini Belirleme
g(x) = f(u(x)) olsun, burada u(x) = x^2 \cdot f(x) olarak tanımlıdır. x = 2 için iç fonksiyonun değerini hesaplayalım:
u(2) = 2^2 \cdot f(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
Çarpımın türevi kuralını uygulayarak u'(x) ifadesini türetip x = 2 değerini yerine yazalım:
u'(x) = (x^2)' \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)
u'(2) = 2(2) \cdot f(2) + 2^2 \cdot f'(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 = 4
Adım 2 — Zincir Kuralı ile g'(2) Değerini Hesaplama
g(x) fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereğince g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) olur. Bulduğumuz değerleri x = 2 için yerine yazalım:
g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot 4
g'(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
CEVAP: B) 2 (g'(2) = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç içe verilen bileşke fonksiyon sorularında en sık yapılan hata, iç fonksiyonun türevini alırken çarpım türevini (u'v + uv') unutup yalnızca dış fonksiyonun türevini almaktır. Önce içinin türevini bağımsız olarak hesaplamak işlem hatasını önler.