$y = f(x)$ Fonksiyonuna Teğet Olan $g(x)$ Fonksiyonunun Türevi ve Eğimi

YKS TYT
1

image
image720×861 26.6 KB

2

y = f(x) Fonksiyonuna Teğet Olan g(x) Fonksiyonunun Türevi ve Eğimi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER:]

  1. Doğrunun Eğimi: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  2. Türev ve Eğim İlişkisi: f'(a), f(x) fonksiyonuna x=a noktasında çizilen teğetin eğimidir.
  3. Bölümün Türevi: \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — d Doğrusunun Eğimi ve f'(1) Değerini Bulma
d doğrusu (-2, 0) ve A(1, 3) noktalarından geçmektedir. Bu doğrunun eğimi aynı zamanda f(x) fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevine eşittir.

m_d = f'(1) = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1

Buradan f'(1) = 1 ve grafikten f(1) = 3 olduğu görülür.

Adım 2 — g(x) Fonksiyonunun Türevini Alma
g(x) = \frac{f(x)}{x} fonksiyonunun türevi bölümün türevi kuralı ile hesaplanır:

g'(x) = \frac{f'(x) \cdot x - f(x) \cdot 1}{x^2}

Adım 3 — x=1 Noktasındaki Teğet Eğimi (g'(1)) Hesaplama
Bizden istenen y = g(x) grafiğine x=1 noktasından çizilen teğetin eğimi, yani g'(1) değeridir. Denklemde x=1 yazalım:

g'(1) = \frac{f'(1) \cdot 1 - f(1) \cdot 1}{1^2}

Bulduğumuz f'(1) = 1 ve f(1) = 3 değerlerini yerine koyalım:

g'(1) = \frac{1 \cdot 1 - 3}{1} = 1 - 3 = -2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Teğet Eğimi

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadan fonksiyona çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
  • [Bu problemde:] d doğrusunun eğimi bize f'(1) değerini vermiştir.

2. Bölüm Türevi

  • [Tanım:] İki fonksiyonun birbirine bölümü şeklinde verilen ifadelerin türevi alınırken payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi formülü uygulanır.
  • [Bu problemde:] g(x) fonksiyonunun türevini bulmak için bu kuralı kullandık.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Türev Almadan Değer Yazma

  • [Yanlış:] g(1) = \frac{f(1)}{1} değerini hesaplayıp sonucu 3 bulmak.
  • [Doğru:] Teğetin eğimi sorulduğu için mutlaka önce türev (g'(x)) alınmalı, sonra x=1 yazılmalıdır.
  • [Neden Yanlış:] Fonksiyonun o noktadaki değeri (y değeri) ile o noktadaki değişim hızı (eğim) farklı kavramlardır.

Bu çözümde takıldığın veya türevin diğer kurallarıyla ilgili sormak istediğin bir nokta var mı?