Y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan her bir değeri birer tamsayı

Question Answer
1

y = f(x), en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan her bir değeri birer tamsayı olan bir polinom fonksiyondur.
f(x) - f(-x) = 0 olduğuna göre,
I.
II.
III.
dik koordinat düzleminde birer parçası verilen grafiklerden hangisi f fonksiyonuna ait olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) I, II ve III

y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan...
y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan...1024×781 64.8 KB

2

Polinom Fonksiyonlarda Simetri ve Tam Sayı Kök Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) - f(-x) = 0 \implies f(x) = f(-x) eşitliği, f fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu ve grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğunu gösterir. Başkatsayısı 1 ve sıfırdan farklı tüm gerçel kökleri tam sayı olan çift bir polinomun kökleri \pm a_1, \pm a_2, \dots, \pm a_k (a_i \in \mathbb{Z}^+) şeklinde simetrik çiftlerden oluşur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Çift Fonksiyon ve Çarpan Yapısının Belirlenmesi
Verilen f(x) = f(-x) şartına göre fonksiyon çifttir. Grafiklerde tepe noktaları y-ekseni üzerinde pozitif değerlerde yer aldığından f(0) \neq 0’dır; yani sıfır bir kök değildir. Bu durumda başkatsayısı 1 olan polinom şu şekilde ifade edilir:

f(x) = (x^2 - a_1^2)(x^2 - a_2^2)\dots(x^2 - a_k^2) \quad (a_i \in \mathbb{Z}^+)

Adım 2 — y-Eksenini Kestiği Noktanın (f(0)) Analizi
Grafiklerde verilen değerler fonksiyonun x = 0 için aldığı f(0) değerleridir. Polinomda x = 0 yazıldığında:

f(0) = (-a_1^2)(-a_2^2)\dots(-a_k^2) = (-1)^k \cdot (a_1 \cdot a_2 \dots a_k)^2

f(0) > 0 olduğu durumlarda f(0), köklerin çarpımının karesi olan bir pozitif tam kare sayı (m^2, m \in \mathbb{Z}^+) olmak zorundadır.

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. Grafik: f(0) = 12 verilmiştir. 12 bir tam kare sayı olmadığından (12 \neq m^2), kökleri tam sayı olan böyle bir polinom yazılamaz. (Olamaz)
  • II. Grafik: f(0) = 9 verilmiştir. 9 = 3^2 bir tam karedir. Örneğin, kökleri \pm 1 ve \pm 3 olan f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = x^4 - 10x^2 + 9 polinomu için f(0) = 9’dur ve x=0’da yerel maksimuma sahiptir. (Olabilir)
  • III. Grafik: f(0) = 4 verilmiştir. 4 = 2^2 bir tam karedir. Örneğin, kökleri \pm 1 ve \pm 2 olan f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4 polinomu için f(0) = 4’tür ve x=0’da yerel maksimuma sahiptir. (Olabilir)

:white_check_mark: CEVAP: D) II ve III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çift polinomlarda sıfırdan farklı kökler simetrik çiftler halinde (\pm a) bulunduğundan sabit terim köklerin karelerinin çarpımına eşittir. Dolayısıyla başkatsayısı 1 olan bu tür polinomlarda pozitif sabit terim daima bir tam kare olmak zorundadır.