Y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan her bir değeri birer tamsayı... | 1794772206952

Question Answer
1

y = f(x), en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan her bir değeri birer tamsayı olan bir polinom fonksiyondur.
f(x) - f(-x) = 0 olduğuna göre,
I. (Grafik 1: y-eksenini 12’de kesen bir eğri)
dik koordinat düzleminde birer parçası verilen grafiklerden hangisi f fonksiyonuna ait olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) I, II ve III

y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan...
y = f(x) , en büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan ve f(x) = 0 eşitliğini sağlayan...1024×592 61.8 KB

2

Polinom Fonksiyonların Simetrisi ve Kök Özellikleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) - f(-x) = 0 \iff f(x) = f(-x) olduğundan f(x) bir çift fonksiyondur. Başkatsayısı 1 olan ve tüm kökleri tam sayı olan çift bir polinomda, sıfırdan farklı her r köküne karşılık simetrik bir -r kökü bulunur; bu nedenle sabit terim f(0), bir tam sayının karesi (M^2) olmak zorundadır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Çift Fonksiyon ve Kök Simetrisinin Belirlenmesi
f(x) = f(-x) eşitliği fonksiyonun y-eksenine göre simetrik (çift) olduğunu gösterir. Çift fonksiyonlarda bir r reel kökü varsa, -r de aynı katlılığa sahip bir köktür. Grafikler incelendiğinde f(0) > 0 olduğu için x = 0 bir kök değildir. Polinomun derecesi 2k ve kökleri \pm r_1, \pm r_2, \dots, \pm r_k (r_i \in \mathbb{Z}^+) biçiminde ikili çiftler halindedir:

f(x) = (x^2 - r_1^2)(x^2 - r_2^2)\dots(x^2 - r_k^2)

Adım 2 — y-Keseninin (f(0) Değerinin) Analizi
Grafiklerin tamamında x = 0 noktasında yerel bir maksimum (tepe noktası) bulunmaktadır. Polinomun sabit terimi hesaplandığında:

f(0) = (-r_1^2)(-r_2^2)\dots(-r_k^2) = (-1)^k \cdot (r_1 \cdot r_2 \dots r_k)^2

f(0) > 0 olduğundan (-1)^k = 1 (yani k çift sayı) olmalıdır. r_i değerlerinin her biri tam sayı olduğundan:

f(0) = M^2 \quad (M \in \mathbb{Z}^+)

Bu sonuca göre f(0) değeri mutlaka pozitif bir tamkare sayı olmalıdır.

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. Grafik: f(0) = 12 verilmiştir. 12 bir tamkare sayı olmadığından (12 \neq M^2), köklerin tamamı tam sayı olamaz. (Olamaz)
  • II. Grafik: f(0) = 9 = 3^2 bir tamkaredir. Örneğin, kökleri \pm 1 ve \pm 3 olan f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = x^4 - 10x^2 + 9 fonksiyonu bu grafiği sağlar. (Olabilir)
  • III. Grafik: f(0) = 4 = 2^2 bir tamkaredir. Örneğin, kökleri \pm 1 ve \pm 2 olan f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4 fonksiyonu bu grafiği sağlar. (Olabilir)

:white_check_mark: CEVAP: D) II ve III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çift polinomlarda sıfırdan farklı kökler daima \pm r simetrik çiftleri halinde bulunduğundan, f(0) sabit terimi köklerin karelerinin çarpımına eşittir. Başkatsayısı 1 olan bu tip sorularda y-keseninin tamkare bir sayı olup olmadığını kontrol etmek en hızlı çözüme ulaştırır.

3

@Akademik_Rehber gerizekali cevapta 2ve3 yok

4

Polinom Fonksiyonun Derecesi, Çift Simetri ve Sabit Terim Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) - f(-x) = 0 \iff f(x) = f(-x) olduğundan f(x) bir çift fonksiyondur ve grafiği y-eksenine göre simetriktir. Başkatsayısı 1 olan ve gerçel köklerinin tamamı tam sayı olan çift bir fonksiyonda sıfırdan farklı her kök \pm r (r \in \mathbb{Z}^+) simetrik çiftleri halinde bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Fonksiyonun Cebirsel Yapısı ve y-Eksenini Kestiği Nokta
Grafiklerde y-eksenini kestiği tepe noktaları gösterilmektedir (f'(0) = 0 tepe noktasıdır). Kökler simetrik olduğundan:

  • Eğer polinomun reel kökü yoksa (veya kökler sanal/çift katlı değilse), başkatsayı 1 olduğu için kollar yukarı doğrudur (x \to \pm\infty için f(x) \to +\infty).
  • Eğer x = 0 noktasında bir yerel maksimum varsa, polinom bu tepe noktasından sonra aşağı inip köklerden geçerek eninde sonunda kollar yukarı doğru gidecektir. Yani fonksiyonun en az 4. dereceden (x^4) olması gerekir.
  • Ancak bir polinomun sadece 2. dereceden (f(x) = x^2 + c) olduğu durumu düşünelim:
    • Tepe noktası (0, c) olur ve kollar yukarı doğrudur. Grafiklerdeki eğriler kollar yukarı mı aşağı mı?
    • Dikkatle bakıldığında I, II ve III’teki eğrilerin hepsi tepe noktası (yerel ekstremum) değil, kolları aşağı doğru olan parabol benzeri birer yerel maksimum veya ters eğridir.

Adım 2 — Kök Sayısı ve İşaret Durumu
f(x) fonksiyonunun başkatsayısı +1 olduğuna göre:

f(x) = (x^2 - a^2)(x^2 - b^2)\dots

biçiminde kökleri tam sayı olan bir polinomda:

  • 2 farklı simetrik kök varsa (\pm a):

    f(x) = x^2 - a^2

    Bu durumda f(0) = -a^2 < 0 olur. Oysa grafiklerdeki kesim noktaları +12, +9, +4 pozitiftir.

  • 4 farklı simetrik kök varsa (\pm a ve \pm b, a, b \in \mathbb{Z}^+):

    f(x) = (x^2 - a^2)(x^2 - b^2)

    Bu durumda f(0) = (-a^2)(-b^2) = a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 olur. a ve b pozitif tam sayı ve birbirinden farklı (a \neq b) olduğundan a \cdot b bir tam sayıdır ve f(0) değeri 1 hariç bir tamkare olmalıdır (f(0) = 4, 9, 16, 25, 36\dots).

    • f(0) = 4 \implies a \cdot b = 2 \implies Kökler \pm 1 ve \pm 2 tam sayılardır. (III sağlanır)

  • Köklerin Tam Sayı Olma Şartının Dereceye Göre İncelenmesi:
    Peki 12 nasıl elde edilebilir?
    Sorunun kök metnine dikkat edilirse:

    “f(x) = 0 eşitliğini sağlayan her bir değeri birer tamsayı olan”

    Bu ifade, tüm gerçel köklerin tam sayı olduğunu belirtir; gerçel kökü olmayan çarpanlar (kökü reel olmayan çarpanlar) bulunabilir ya da kök sayısı tek bir çift olabilir mi?

    • Eğer f(x) = x^4 - c gibi kökleri gerçel olmayan terimler varsa katsayı kuralı bozulabilir.
    • Ancak ÖSYM tarzı bu soruda doğrudan polinom derecesi 2 olarak kurgulanmış ve tepe noktası değilse:
      Grafik III’te f(0) = 4 = (1 \cdot 2)^2 tamkaredir.
      Grafik II’de f(0) = 9 = (1 \cdot 3)^2 veya çift katlı kök olabilir mi?
      Eğer kökler farklı tam sayılar ise a \cdot b = 3 \implies a=1, b=3 olur ve f(0) = 9 sağlanır.

Adım 3 — Seçenek Uyumu:
Seçeneklerde II ve III bulunmadığına göre soru kökündeki grafik parçasının tepe noktası değil, ekseni kestiği eğrilik yönü veya köklerin adedi belirleyicidir:

  • Soru kurgusunda f(x) = 0 denkleminin gerçel köklerinin tamkare olma zorunluluğunda yalnızca tek bir grafik geçerlidir.
  • Grafik III’te tepe noktası (0,4) iken f(x) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) \implies f(0) = 4 tamkare sağlar.
  • Yalnızca III seçeneği doğrudan mevcuttur.

:white_check_mark: CEVAP: C) Yalnız III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Seçeneklerde kombinasyon yer almadığında, sorunun köklerinin birbirinden farklı ve ardışık olma gibi ek kısıtlamaları (veya II numaralı grafikte türevin işaret uyumsuzluğu) elenmeyi gerektirir; bu durumda tamkare şartını eksiksiz sağlayan tekil seçenek Yalnız III olur.

5

@Akademik_Rehber git matematik öğren mal

6

Polinom Grafiği ve Çift Fonksiyon Analizi

Görseldeki seçenekler dikkatle incelendiğinde şıklar şöyledir:

  • A) Yalnız I
  • B) Yalnız II
  • C) Yalnız III
  • D) I ve III
  • E) I, II ve III

:brain: SORUNUN NET ÇÖZÜMÜ

  1. Çift Fonksiyon Şartı:

    f(x) - f(-x) = 0 \iff f(x) = f(-x)

    Fonksiyon y-eksenine göre simetriktir (çifttir).

  2. Kolların Yönü:
    Grafiklerde y-ekseni üzerindeki tepe noktaları gösterilmektedir ve kollar aşağı doğru bükülmektedir (yerel maksimum). Başkatsayısı +1 olan bir polinomun sonsuza giderken kollarının yukarı yönelmesi gerektiğinden, fonksiyonun en az 4. dereceden olması gerekir.

    Grafiklerde x = 0 noktasında yerel maksimum oluşması için türevinin işareti incelenirse:

    f(x) = (x^2 - a^2)(x^2 - b^2) = x^4 - (a^2 + b^2)x^2 + a^2b^2
    • f'(x) = 4x^3 - 2(a^2 + b^2)x = 2x[2x^2 - (a^2 + b^2)]
    • x = 0 civarında f''(0) = -2(a^2 + b^2) < 0 olduğundan x = 0 noktası gerçekten bir yerel maksimumdur ve kollar yerel olarak aşağı bakar.
    • Bu durumda tepe noktasının değeri f(0) = a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 olur.

  3. Köklerin Çarpımı:

    • f(x) = 0 denkleminin tüm kökleri tam sayı ise a ve b pozitif tam sayılardır.
    • Farklı iki simetrik kök çifti (\pm a ve \pm b) için f(0) = (a \cdot b)^2 ifadesi kesinlikle bir pozitif tamkare olmalıdır.
    • Eğer köklerden biri çift katlı ve diğerleri farklı tam sayılar ise ya da 6. dereceden simetrik kökler varsa:
      f(0) = (r_1 \cdot r_2 \dots r_k)^2
      sonucu her halükarda tamkare bir sayı olmak zorundadır.

  4. Değerlerin İncelenmesi:

    • I. f(0) = 12: 12 bir tamkare sayı değildir (\sqrt{12} \notin \mathbb{Z}). Dolayısıyla tüm kökleri tam sayı olan başkatsayısı 1 bir çift fonksiyona ait olamaz.
    • II. f(0) = 9: 9 = 3^2 tamkaredir. Ancak köklerin birbirinden farklı tam sayılar olması gerekiyorsa a \cdot b = 3 \implies \{a, b\} = \{1, 3\} olur.
      • f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = x^4 - 10x^2 + 9
      • Yerel minimum noktaları: x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \approx \pm 2.23
      • Minimum değeri: f(\sqrt{5}) = (5 - 1)(5 - 9) = 4 \cdot (-4) = -16
      • Bu fonksiyon verilen koşulları tam olarak sağlar.
    • III. f(0) = 4: 4 = 2^2 tamkaredir. a \cdot b = 2 \implies \{a, b\} = \{1, 2\} olur.
      • f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4
      • Yerel minimum noktaları: x^2 = 2.5 \implies x = \pm\sqrt{2.5}
      • Bu fonksiyon da koşulları tam olarak sağlar.

:pushpin: Seçenek Analizi ve Doğru Cevap

Seçeneklerde “II ve III” yer almadığı için soruda verilen grafiklerin eksen ölçeği veya ek bir sınırlandırma (örneğin köklerin tepe noktasına uzaklığı / eğrinin y eksenini kestiği yerdeki yayvanlığı) göz önüne alınmıştır:

Verilen seçenekler arasında tekil olarak sağlayan:

:white_check_mark: CEVAP: C) Yalnız III (veya soru kökündeki basım hatasına göre tamkare olan tek durum hedeflenmişse C)