y = \cot(\pi - \frac{1}{x}) - \csc^2(\pi - \frac{1}{x})
y = 5 \cos^{-4} x
Trigonometrik Fonksiyonlarda Zincir Kuralı ile Türev Alma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke fonksiyonların türevinde Zincir Kuralı (Chain Rule) uygulanır: \frac{d}{dx}[f(u)] = f'(u) \cdot u'. Trigonometrik fonksiyonların temel türev kuralları şunlardır:
\frac{d}{dx}(\cot u) = -\csc^2(u) \cdot u', \quad \frac{d}{dx}(\csc u) = -\csc(u)\cot(u) \cdot u', \quad \frac{d}{dx}(u^n) = n u^{n-1} \cdot u'
ÇÖZÜM ADIMLARI
Soru 16: y = \cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right) Fonksiyonunun Türevi
Adım 1 — İç Fonksiyonun Türevini Belirleme
İçteki ifadeye u = \pi - \frac{1}{x} = \pi - x^{-1} diyelim. u’nun x’e göre türevi:
u' = 0 - (-1 \cdot x^{-2}) = \frac{1}{x^2}
Adım 2 — Her İki Terimin Türevini Zincir Kuralı ile Alma
- Birinci terim: \frac{d}{dx}[\cot(u)] = -\csc^2(u) \cdot u'
- İkinci terim: \frac{d}{dx}[\csc^2(u)] = 2\csc(u) \cdot \frac{d}{dx}[\csc(u)] = 2\csc(u) \cdot \big(-\csc(u)\cot(u) \cdot u'\big) = -2\csc^2(u)\cot(u) \cdot u'
İfadeleri yerine yazıp y' türevini oluşturalım:
y' = -\csc^2(u) \cdot u' - \left[-2\csc^2(u)\cot(u) \cdot u'\right] = u' \cdot \csc^2(u)\big(2\cot(u) - 1\big)
u = \pi - \frac{1}{x} ve u' = \frac{1}{x^2} değerlerini yerine yazalım:
y' = \frac{1}{x^2} \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - 1\right]
(İndirgeme bağıntıları kullanılırsa \csc(\pi - \theta) = \csc\theta ve \cot(\pi - \theta) = -\cot\theta olduğundan sonuç -\frac{1}{x^2}\csc^2\left(\frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\frac{1}{x}\right) + 1\right] olarak da yazılabilir.)
Soru 18: y = 5\cos^{-4}(x) Fonksiyonunun Türevi
Adım 1 — Kuvvet ve Zincir Kuralını Uygulama
İfadeyi y = 5(\cos x)^{-4} biçiminde ele alalım. Kuvvet kuralı gereğince üs başa katsayı olarak gelir, üs 1 azaltılır ve için türevi (\cos x’in türevi) ile çarpılır:
y' = 5 \cdot (-4)(\cos x)^{-4 - 1} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)
Adım 2 — İfadeyi Sadeleştirme
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x olduğundan:
y' = -20(\cos x)^{-5} \cdot (-\sin x)
y' = 20\cos^{-5}(x)\sin x = \frac{20\sin x}{\cos^5 x} = 20\tan(x)\sec^4(x)
CEVAP:
- 16. Soru: y' = \mathbf{\frac{1}{x^2} \csc^2\left(\pi - \frac{1}{x}\right)\left[2\cot\left(\pi - \frac{1}{x}\right) - 1\right]}
- 18. Soru: y' = \mathbf{20\cos^{-5}(x)\sin x} \left(\text{veya } \mathbf{\frac{20\sin x}{\cos^5 x}}\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerinin türevini alırken en sık yapılan hata içinin türevini (\cos x’in türevi olan -\sin x) çarpmayı unutmak veya eksi işaretlerini karıştırmaktır. Negatif iki işaretin çarpımının pozitif ((-20) \cdot (-\sin x) = +20\sin x) olduğuna dikkat edilmelidir.