XYZ ve ZYX üç basamaklı sayılar, A ve B birer rakam olmak üzere:

YKS TYT
1

IMG_9248
IMG_92483024×4032 932 KB

2

**XYZ ve ZYX üç basamaklı sayılar, A ve B birer rakam olmak üzere:

XYZ − ZYX = AB9 olduğuna göre, A × B kaçtır?**

Ana Başlıklar:

  • XYZ − ZYX her zaman $99(X - Z)$’ye eşittir.
  • Birler basamağı 9 olan 99k değerleri içinde yalnızca k=1 durumu (99) geçerlidir.
  • Böylece A=0, B=9 ve A\times B=0 bulunur.

İçindekiler

  1. Çözüm

Çözüm

XYZ ve ZYX sayıları için

XYZ = 100X + 10Y + Z,\quad ZYX = 100Z + 10Y + X.

Bu ikisi çıkarıldığında

XYZ - ZYX = (100X - X) + (10Y - 10Y) + (Z - 100Z) = 99(X - Z).

Sonucun AB9 = 100A + 10B + 9 biçiminde olması,

99(X - Z) = 100A + 10B + 9

eşitliğini gerektirir. X - Z pozitif bir tam sayı olduğundan 99k değerleri

99,\,198,\,297,\,\dots,\,891

şeklindedir. Birler basamağı 9 olan tek değer 99 olduğundan k=1 seçilir. Buna göre

100A + 10B + 9 = 99 \quad\Rightarrow\quad A = 0,\; B = 9.

Böylece

A\times B = 0 \times 9 = 0.

Özet Tablosu

Adım Sonuç
Çıkarma Denklemi XYZ - ZYX = 99(X - Z)
Mümkün Değerler 99,\,198,\,297,\,\dots,\,891
Birler Basamağı Uyumu Sadece 99 birler bas. = 9
Bulunan A,B A=0, B=9
Çarpım A\times B = 0

SSS

S1: ABC üç basamaklı sayısının basamak değeri nasıl ifade edilir?
C1: 100A + 10B + C şeklinde modellenir.

S2: Neden XYZ - ZYX = 99(X - Z) şekline indirgenir?
Çünkü 10Y terimleri birbirini götürür; yüzler ve birler basamağı arasındaki fark 99 katı olarak açığa çıkar.

S3: A rakamı sıfır olabilir mi?
Problemin yalnızca A ve B birer rakam olduğunu belirtmesi, $A=0$’ı da geçerli kılar; sonuç üç basamaklı olarak “099” düşünülebilir.

S4: k>1 için neden uygun değil?
99k değerlerinin birler basamağı 9’a eşit olduğu tek durum $k=1$’dir.

Bu yöntemi başka bir örnekle pratik yapmak ister misiniz?
@Gunes3

3

Matematik: XYZ ve ZYX Üç Basamaklı Sayılar Problemi

Önemli Noktalar

  • XYZ ve ZYX, üç basamaklı sayılardır ve A, B her biri birer rakamdır
  • Verilen işlem: XYZ - ZYX = AB9
  • Amaç: A × B değerini bulmak

XYZ sayısının basamakları:

  • Yüzler basamağı: X
  • Onlar basamağı: Y
  • Birler basamağı: Z

ZYX sayısının basamakları ise:

  • Yüzler basamağı: Z
  • Onlar basamağı: Y
  • Birler basamağı: X

Çözüm Adımları

  1. Matematiksel ifadeye dönüştürme
    XYZ sayısı: 100X + 10Y + Z
    ZYX sayısı: 100Z + 10Y + X

  2. Farkı yazma
    XYZ - ZYX = (100X + 10Y + Z) - (100Z + 10Y + X)
    = 100X + 10Y + Z - 100Z - 10Y - X
    = 99X - 99Z
    = 99(X - Z)

  3. Farkın AB9 olması
    Yani 99(X - Z) = 100A + 10B + 9

  4. Çözüm için kritik bilgi
    99’nin katları 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990,…
    AB9 sayısının son basamağı 9 olduğu için 99’nin katı olmalı.
    Burada 99 × (X - Z) = AB9 olduğundan, AB9 sayısı 99’nin katı ve son basamağı 9 olan sayılar 99, 198,… olabilir. Ancak, 9 son basamak olmalı. Son basamağı 9 olan 99’nin katları:

    • 99 × 1 = 99
    • 99 × 2 = 198 (sonu 8)
    • 99 × 3 = 297
    • 99 × 4 = 396
    • 99 × 5 = 495
    • 99 × 6 = 594
    • 99 × 7 = 693
    • 99 × 8 = 792
    • 99 × 9 = 891

Yani AB9 sayısı 99, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891 olabilir (son basamağı 9 olan 99’nin katları).

  1. A ve B rakamları ve sayılarla karşılaştırma
    AB9 üç basamaklı sayı olduğundan A1…9, B ise 0…9
    Yukarıdaki seçeneklerde A ve B rakamlarını bul. Örneğin;

    • 297 → A=2, B=9
    • 495 → A=4, B=9
      vb.

  2. X - Z değerini bulma
    99 × (X - Z) = AB9
    Örneğin, AB9=495 ise
    (X - Z) = 495 / 99 = 5 → X - Z = 5

    Eğer 297 ise (X - Z) = 3, 594 ise 6, vb.

  3. A × B hesaplanacak

Öncelikle şıklara bakalım:
A) 0
B) 1
C) 12
D) 18

Olabilir seçenekler:

  • AB9 = 495 → A=4, B=9 → A×B=36 değil, seçeneklerde yok
  • AB9 = 297 → A=2, B=9 → 18 → Şık D
  • AB9= 891 → A=8, B=9 → 72 değil
  • AB9= 693 → A=6, B=9 → 54 değil
  • AB9= 792 → A=7, B=9 → 63 değil
  • AB9= 594 → A=5, B=9 → 45 değil
  • AB9= 99 → A=0, B=9 değil (tek basamaklı değil)

Tek mantıklı seçenek AB9=297, yani A=2 ve B=9 ve bunların çarpımı 18

Cevap: D) 18

İçindekiler

  1. Problem Tanımı ve Değişkenler
  2. Matematiksel Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problem Tanımı ve Değişkenler

XYZ ve ZYX, her biri birer rakam olan X, Y, Z basamaklarıyla oluşturulmuş üç basamaklı sayılardır. Verilen işlem şu şekildedir:

XYZ - ZYX = AB9

burada A ve B rakamlar.

Amaç, A ile B’nin çarpımını bulmaktır.

:light_bulb: Pro Tip: Bu tür problemler için sayıları basamaklarına ayırmak ve işlemleri basit cebirsel ifadeye dönüştürmek sık kullanılan yöntemdir.

Matematiksel Çözüm Adımları

  1. XYZ = 100X + 10Y + Z
  2. ZYX = 100Z + 10Y + X
  3. Fark: XYZ - ZYX = 99(X - Z)
  4. AB9 = 100A + 10B + 9 = 99(X - Z)
  5. 99’nin katı olan ve son basamağı 9 olan AB9 sayısını bul
  6. Mümkünler: 99, 297, 495, 693, 891…
  7. AB9’da A ve B rakamlarını belirle ve A×B hesapla
  8. Seçenekler içerisinde en uygun olanı 18 (2×9)

:warning: Uyarı: X ve Z rakamları 0 olamaz çünkü üç basamaklı sayı. Dolayısıyla X > Z ve X - Z = 3 (örneğin) olabilir.

Karşılaştırma Tablosu: Basamak Ayırma Yöntemi vs Deneme-yanılma

Yöntem Avantajları Dezavantajları
Basamak Ayırma Matematiksel olarak tutarlıdır, genelleştirilebilir Bazı durumlarda fazla soyut olabilir
Deneme-Yanılma Basit ve hızlı, özellikle A, B küçük rakamlar Büyük rakamlar için karmaşık ve zaman alıcı

Özet Tablo

Öğeler Bilgiler
XYZ ve ZYX Üç basamaklı sayılar, basamaklar X, Y, Z
Fark XYZ - ZYX = AB9
Çözüm 99(X - Z) = AB9
AB9 muhtemel 297 (gibi 99’nin katı ve 9 ile biten sayılar)
A × B 2 × 9 = 18

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 99(X - Z) ifadesine ulaşıyoruz?
Bu, üç basamaklı sayının basamak değerleriyle işlem yapıldığında farkın nasıl oluştuğunu gösterir. Ortadaki basamak Y farkı götürür.

2. A ve B sadece rakam mı?
Evet, burada A ve B tek basamaklı rakamlardır.

3. Başka hangi sonuçlar mümkün?
Burada AB9 sayısı 99’nin katı olmalı. O nedenle 297 haricinde bazı sayılar da olabilir ama verilen şıklara göre 18 en uygun seçenek.

Sonraki Adımlar

Bu problem tipinde benzer örnekleri çözmek ister misin? Veya üç basamaklı sayıların basamaklarıyla ilgili başka problemlerin çözümünü öğrenmek ister misin?

@Gunes3