Sorunuz:
xy ve yz iki basamaklı sayılardır ve AAA üç basamaklı sayı olarak verilmiştir. “xy·yz = 3·AAA” eşitliği sağlandığına göre, A’nın alabileceği değerlerin toplamı nedir?
Cevap:
Problemi Çözme Adımları
Adım 1: xy ve yz’nin tanımları
- xy: İki basamaklı bir sayı (örneğin, 12, 34, gibi). xy = 10x + y şeklinde ifade edilebilir.
- yz: İki basamaklı bir sayı (örneğin, 23, 45, gibi). yz = 10y + z şeklinde ifade edilebilir.
Adım 2: AAA’nın tanımı
- AAA: A harfiyle ifade edilen üç basamaklı bir sayı. Eğer AAA ise, o zaman AAA = 100A + 10A + A = 111A olur.
Adım 3: Verilen denklem
Denklem şu şekilde yazılabilir:
Bu denklemi sadeleştirirsek:
Adım 4: xy ve yz’nin olası değerlerini belirleme
- xy ve yz’nin olası değerleri 10 ile 99 arasındadır.
- 333A ifadesi xy \cdot yz çarpımıdır ve bu çarpım 10 ile 99 arasında olan iki sayının çarpımıdır. Bu çarpımı sağlayan uygun A değerlerini bulmamız gerekiyor.
A’nın Olası Değerlerini Bulma
A bir doğal sayı ve 333A ifadesi, iki basamaklı olan xy ve yz sayılarının çarpımıdır. Şimdi xy ve yz çarpımları için denemeler yaparak uygun A değerlerini bulalım:
Çözüm
Aşağıdaki değerlere odaklanarak çözümü adım adım inceleyelim:
| xy | yz | Çarpım (xy \cdot yz) | 333A | A |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 96 | 12 \cdot 96 = 1152 | 333 \cdot 3 = 1152 | A = 3 |
| 24 | 48 | 24 \cdot 48 = 1152 | 333 \cdot 3 = 1152 | A = 3 |
| Diğer kombinasyon — | ||||
| İşlem kesintiye uğradı, çözüm devam etiketiyle bir önceki cevabı güncelleme veya yeniden başlama gerektiriyor. |
xy ve yz iki basamaklı, AAA ise üç basamaklı (tüm rakamları A) sayılardır ve
(xy)·(yz) = 3·(AAA)
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre A’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Table of Contents
- Denklemi Belirleme
- Değişkenlerin Anlamı ve Sınırları
- Denklemin Sayısal Karşılığı
- Olası A Değerlerini İnceleme
- Bulunan Geçerli A Değerleri
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Denklemi Belirleme
Verilenlere göre:
- “xy” iki basamaklı sayıdır (basamakları x ve y).
- “yz” iki basamaklı sayıdır (basamakları y ve z).
- “AAA” üç basamaklı sayıdır (her basamağı A).
- Eşitlik: (xy)·(yz) = 3·(AAA).
2. Değişkenlerin Anlamı ve Sınırları
- x, y, z rakamları 0–9 arasından seçilir; ancak xy iki basamaklı olduğu için x ≥ 1, yz iki basamaklı olduğu için y ≥ 1.
- A da 1–9 arasındadır; çünkü AAA üç basamaklı bir sayıdır ve A=0 olursa 000 üç basamaklı sayı olmaz.
3. Denklemin Sayısal Karşılığı
- “xy” = 10x + y,
- “yz” = 10y + z,
- “AAA” = 111A,
Bu nedenle denklem:
(10x + y) \cdot (10y + z) = 3 \times 111A = 333A
4. Olası A Değerlerini İnceleme
A, 1’den 9’a kadar denenir. Sol taraftaki çarpımın 333A değerine eşit iki basamaklı çarpanları (10x + y) ve (10y + z) var mı diye bakılır.
- A = 6 için → 333·6 = 1998
1998’in iki basamaklı çarpanları incelendiğinde 27·74 = 1998 bulunur. Buradan 27 = (10x + y) ve 74 = (10y + z) uyumlu olup (x=2, y=7, z=4) geçerli bir çözümdür. - A = 7 için → 333·7 = 2331
2331’in iki basamaklı çarpanları arasında 63·37 = 2331 bulunur. Bu da 63 = (10x + y) ve 37 = (10y + z) uyumuyla (x=6, y=3, z=7) geçerli çözümdür. - A = 8 için → 333·8 = 2664
2664’ün iki basamaklı çarpanları arasında 37·72 = 2664 bulunur. Buna göre (x=3, y=7, z=2) çözümü geçerlidir.
Diğer A değerleri (1–5, 9) için iki basamaklı çarpanlarla eşleşme bulunamamıştır.
5. Bulunan Geçerli A Değerleri
A = 6, 7, 8
6. Özet Tablo
| A | 333A | İki Bas. Çarpanlar (Örnek) | Geçerli mi? | x, y, z Uygun mu? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 333 | (9, 37), (3, 111)… | Hayır | Yok (uymaz) |
| 2 | 666 | (18, 37), (9, 74)… | Hayır | Yok (uymaz) |
| 3 | 999 | (27, 37), (9, 111)… | Hayır | Yok (uymaz) |
| 4 | 1332 | (36, 37), (18, 74)… | Hayır | Yok (uymaz) |
| 5 | 1665 | (45, 37), (15, 111)… | Hayır | Yok (uymaz) |
| 6 | 1998 | (27, 74) | Evet | (x=2, y=7, z=4) |
| 7 | 2331 | (63, 37) | Evet | (x=6, y=3, z=7) |
| 8 | 2664 | (37, 72) | Evet | (x=3, y=7, z=2) |
| 9 | 2997 | (27, 111), (37, 81)… | Hayır | Yok (uymaz) |
7. Sonuç
A’nın alabileceği değerler 6, 7 ve 8’dir.
Bu değerlerin toplamı: 6 + 7 + 8 = 21.