Xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır

YKS TYT
1

Lazim
xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre,
xy yx
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 36
B) 81
C) 45
D) 27
E) 18

Lazim xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır.
Lazim xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır.1024×768 71.9 KB

2

İki Basamaklı Sayılarda Basamak Çözümlemesi (xy - yx)

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İki basamaklı bir ab doğal sayısının basamak çözümlemesi:

ab = 10a + b

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sayıların Basamak Çözümlemesini Yapma
xy ve yx iki basamaklı doğal sayılarını onluk tabanda açalım:

xy = 10x + y
yx = 10y + x

Adım 2 — Fark İşlemini Sadeleştirme
xy - yx ifadesini yazıp ortak paranteze alalım:

xy - yx = (10x + y) - (10y + x)
xy - yx = 10x + y - 10y - x
xy - yx = 9x - 9y = 9(x - y)

Bu sonuca göre, xy - yx farkı her zaman 9 sayısının bir tam katı olmak zorundadır.

Adım 3 — Rakamların Alabileceği Değerleri Belirleme
xy ve yx iki basamaklı doğal sayılar olduğundan:

  • x ve y birer rakamdır: x, y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
  • Sayıların onlar basamağında yer aldıkları için sıfır olamazlar: x \neq 0 ve y \neq 0

Bu durumda x ve y rakamları en az 1, en fazla 9 değerini alabilir:

x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

Adım 4 — (x - y) Farkının Alabileceği Değerleri ve Seçenekleri İnceleme
x > y kabul edildiğinde x - y farkının alabileceği en büyük değer:

(x - y)_{\text{maks}} = 9 - 1 = 8

Buna göre xy - yx = 9(x - y) ifadesinin alabileceği pozitif değerler:

  • x - y = 2 \implies 9 \times 2 = 18 (E seçeneği sağlanır, örn: 31 - 13 = 18)
  • x - y = 3 \implies 9 \times 3 = 27 (D seçeneği sağlanır, örn: 41 - 14 = 27)
  • x - y = 4 \implies 9 \times 4 = 36 (A seçeneği sağlanır, örn: 51 - 15 = 36)
  • x - y = 5 \implies 9 \times 5 = 45 (C seçeneği sağlanır, örn: 61 - 16 = 45)

Adım 5 — 81 Değerinin Neden Olamayacağını Belirleme

xy - yx = 81 \implies 9(x - y) = 81 \implies x - y = 9

Farkın 9 olabilmesi için tek durum x = 9 ve y = 0 olmasıdır. Ancak yx sayısı iki basamaklı olduğundan y \neq 0 olmak zorundadır. Bu nedenle x - y = 9 olamaz ve sonuç hiçbir zaman 81 değerini alamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 81
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Basamak Çözümlemesi

  • Tanım: Bir sayının, rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
  • Bu problemde: xy = 10x + y ve yx = 10y + x dönüşümü yapılarak ortak çarpan parantezine alınmıştır.

2. İki Basamaklı Sayı Tanımı

  • Tanım: Onlar basamağındaki rakamı sıfırdan farklı olan iki haneli tam sayılardır.
  • Bu problemde: Hem xy hem de yx iki basamaklı olduğu için x \neq 0 ve y \neq 0 şartı sağlanmalıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: y = 0 Kabul Etmek

  • Yanlış: x = 9 ve y = 0 seçilerek 90 - 09 = 81 bulunur ve 81 değerinin olabileceği düşünülür.
  • Doğru: yx sayısı iki basamaklı verildiği için 09 geçerli bir iki basamaklı sayı değildir (y \neq 0).
  • Neden yanlış: Bir doğal sayının iki basamaklı olabilmesi için solundaki ilk basamağın (onlar basamağı) sıfır olmaması gerekir.

Benzer şekilde xy + yx toplamının alabileceği değerler veya basamak kavramıyla ilgili farklı bir soru tipi çözmemi ister misin?