xy ve yx iki basamaklı, 1y5 üç basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
xy + yx = 1y5
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Basamak Analizi ve Doğal Sayılar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Çok basamaklı sayıların basamak çözümlemesi:
ab = 10a + b
abc = 100a + 10b + c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Basamak Değerlerine Göre Çözümleme
Verilen iki ve üç basamaklı sayıları basamak çözümlemesi kuralına göre açalım:
xy = 10x + y
yx = 10y + x
1y5 = 100 \cdot 1 + 10 \cdot y + 5 = 105 + 10y
Adım 2 — Eşitliği Kurma ve Sadeleştirme
Çözümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyup düzenleyelim:
xy + yx = 1y5
(10x + y) + (10y + x) = 105 + 10y
11x + 11y = 105 + 10y
Her iki taraftan 10y çıkarırsak:
11x + y = 105
Adım 3 — Rakam Değerlerini Belirleme
x ve y sıfırdan farklı birer rakam (1 \le x, y \le 9) olmak zorundadır:
-
x = 9 için:
11 \cdot 9 + y = 105 \implies 99 + y = 105 \implies y = 6(y = 6 bir rakamdır ve şartı sağlar.)
-
x = 8 veya daha küçük değerler için:
11 \cdot 8 + y = 105 \implies 88 + y = 105 \implies y = 17(y bir rakam olamayacağı için bu durumlar elenir.)
Sağlama:
$$96 + 69 = 165 \implies 1y5 = 165$$ (Eşitlik doğrulanır.)
Buradan x = 9 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Basamak Çözümlemesi: Bir sayının, rakamlarının basamak değerleri toplamı biçiminde ifade edilmesidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 1y5 sayısını 1 \cdot y \cdot 5 gibi çarpma işlemi olarak düşünmek.- Doğru Yaklaşım: 1y5 ifadesinin 100 + 10y + 5 biçiminde üç basamaklı bir sayı olduğunu dikkate almak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir basamak analizi sorusu çözmek ister misin?