XY iki basamaklı bir sayıdır. (XY - (2X+Y)/3)/2 olduğuna göre, kaç tane XY iki basamaklı sayısı yazılabilir?

Question Answer
1

XY iki basamaklı bir sayıdır.
\frac{XY - \frac{2X+Y}{3}}{2}
olduğuna göre, kaç tane XY iki basamaklı sayısı yazılabilir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 6
E) 7

XY iki basamaklı bir sayıdır.
XY iki basamaklı bir sayıdır.1024×439 52.4 KB

2

İki Basamaklı XY Sayısının Değerlerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  1. Bölme Bağıntısı: \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan}
  2. Kalan Kuralı: 0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen}
  3. Basamak Analizi: XY = 10X + Y (X \in \{1, 2, \dots, 9\} ve Y \in \{0, 1, \dots, 9\})

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bölme İşlemini Matematiksel Eşitliğe Dönüştürme
Verilen bölme işleminde:

  • Bölünen: XY
  • Bölen: 2X + Y
  • Bölüm: 3
  • Kalan: 2

Bölme bağıntısını yazalım:

XY = 3 \cdot (2X + Y) + 2

Adım 2 — Basamak Çözümlemesi Yapma ve Denklemi Sadeleştirme
XY iki basamaklı sayısını 10X + Y olarak açalım:

10X + Y = 6X + 3Y + 2

Benzer terimleri eşitliğin karşı taraflarına toplayalım:

10X - 6X = 3Y - Y + 2
4X = 2Y + 2

Her iki tarafı 2 ile sadeleştirelim:

2X = Y + 1 \implies Y = 2X - 1

Adım 3 — Kalan Şartını Kontrol Etme
Bölme kuralı gereğince kalan, bölenden küçük olmalıdır:

\text{Kalan} < \text{Bölen} \implies 2 < 2X + Y

Y = 2X - 1 eşitliğini yerine yazarsak:

2 < 2X + (2X - 1)
2 < 4X - 1 \implies 4X > 3 \implies X > \frac{3}{4}

X bir rakam ve XY iki basamaklı bir sayı olduğundan X \ge 1 şartı sağlanır; dolayısıyla tüm pozitif X rakamları bu eşitsizliği sağlar.

Adım 4 — X ve Y Rakam Değerlerini Belirleme
Y = 2X - 1 şartında Y bir rakam (0 \le Y \le 9) olmalıdır:

  • X = 1 \implies Y = 2(1) - 1 = 1 \implies XY = 11
  • X = 2 \implies Y = 2(2) - 1 = 3 \implies XY = 23
  • X = 3 \implies Y = 2(3) - 1 = 5 \implies XY = 35
  • X = 4 \implies Y = 2(4) - 1 = 7 \implies XY = 47
  • X = 5 \implies Y = 2(5) - 1 = 9 \implies XY = 59
  • X = 6 \implies Y = 2(6) - 1 = 11 (11 bir rakam olmadığı için alınamaz).

Bu durumda yazılabilecek XY sayıları: 11, 23, 35, 47, 59 olmak üzere toplam 5 tanedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bölme Algoritması

  • Tanım: Bir bölme işleminde bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir.
  • Bu problemde: XY = 3(2X+Y) + 2 eşitliğini kurmak için kullanıldı.

2. Rakam Olma Şartı

  • Tanım: Onluk tabanda X ve Y ifadelerinin \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinin elemanı olması zorunluluğudur. Ayrıca ilk basamak olan X \ne 0’dır.
  • Bu problemde: X=6 ve sonrası için Y \ge 11 çıktığından çözüm kümesi sınırlandırıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kalan Şartını İhmal Etmek

  • Yanlış: Sadece basamak çözümlemesi yapıp kalanın bölenden küçük olması gerektiğini (\text{Kalan} < \text{Bölen}) kontrol etmemek.
  • Doğru: Her bölme işleminde \text{Kalan} < \text{Bölen} eşitsizliği test edilmelidir.
  • Neden yanlış: Kalan bölenden büyük veya eşit çıkarsa bölme işlemi henüz tamamlanmamış demektir ve elde edilen değerler matematiksel olarak geçersiz olur.

Benzer tipte bir bölme-bölünebilme veya basamak kavramı sorusuyla pratik yapmak ister misin?