Xy iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, n kenarlı bir çokgenin içine yazılan xy doğal sayısının değerini yˣ^ⁿ

YKS TYT
1

xy iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, n kenarlı bir çokgenin içine yazılan xy doğal sayısının değerini y^{x^n} şeklinde tanımlamaktadır.
Örnek:
bigtriangleup 48 = 8^{4^3} = 8^{12} = 2^{36} olur.
Buna göre
\mathrm{m4} dot \mathrm{n5} dot bigtriangleup 45
çarpımı 73 basamaklı en küçük doğal sayıya eşit olduğuna göre m+n toplamı kaçtır?
A) 22
B) 21
C) 20
D) 19
E) 18

xy iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, n kenarlı bir çokgenin içine yazılan xy...
xy iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, n kenarlı bir çokgenin içine yazılan xy...1024×768 146 KB

2

Çokgen İçindeki Sayıların Tanımlı İşlemine Göre m+n Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
n kenarlı bir çokgenin içine yazılan iki basamaklı xy sayısı için kural:

\text{Değer} = y^{x \cdot n}
  • Üslü İfade Taban Dönüşümü: (a^b)^c = a^{b \cdot c}
  • Tabanları Aynı Olan Üslü Sayılarda Çarpma: a^b \cdot a^c = a^{b+c}
  • Basamak Sayısı Kuralı: 10^k = 2^k \cdot 5^k sayısı 1 ve arkasındaki k tane sıfırdan oluşur; toplam (k+1) basamaklı en küçük doğal sayıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çokgen İçindeki İfadeleri Tek Tek Hesaplama

Verilen kurala göre geometrik şekillerin değerlerini bulalım:

  1. Altıgen içindeki \text{m4} sayısı (n = 6 kenar):

    4^{m \cdot 6} = (2^2)^{6m} = 2^{12m}

  2. Kare içindeki \text{n5} sayısı (n = 4 kenar):

    5^{n \cdot 4} = 5^{4n}

  3. Üçgen içindeki 45 sayısı (n = 3 kenar):

    5^{4 \cdot 3} = 5^{12}

Adım 2 — İfadelerin Çarpımını Düzenleme

Bulunan üç değerin çarpımını yazıp aynı tabana sahip olanları birleştirelim:

\text{Çarpım} = 2^{12m} \cdot 5^{4n} \cdot 5^{12}
\text{Çarpım} = 2^{12m} \cdot 5^{4n + 12}

Adım 3 — 73 Basamaklı En Küçük Doğal Sayıyı Üslü Biçimde İfade Etme

73 basamaklı en küçük doğal sayı 10^{72} sayısıdır (1 rakamı ve yanında 72 adet sıfır):

10^{72} = (2 \cdot 5)^{72} = 2^{72} \cdot 5^{72}

Adım 4 — Eşitliği Kurarak m ve n Değerlerini Bulma

2^{12m} \cdot 5^{4n + 12} = 2^{72} \cdot 5^{72}

Tabanları aynı olan üslü ifadelerin üsleri birbirine eşit olmalıdır:

  • 2’nin kuvveti için:

    12m = 72 \implies m = \frac{72}{12} = 6

  • 5’in kuvveti için:

    4n + 12 = 72 \implies 4n = 60 \implies n = 15

Adım 5 — m + n Toplamını Hesaplama

m + n = 6 + 15 = 21

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B şıkkı (21)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Basamak Sayısı ve 10^k İlişkisi

  • Tanım: 10^k biçimindeki bir sayı 1 rakamının sağına k tane 0 konularak yazılır ve toplam (k+1) basamaklıdır.
  • Bu problemde: 73 basamaklı en küçük sayı istendiği için ifade 10^{72} = 2^{72} \cdot 5^{72} şeklinde kurulmuştur.

2. Üssün Üssü Kuralı

  • Tanım: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında üsler çarpılır: (a^x)^y = a^{x \cdot y}.
  • Bu problemde: 4^{6m} ifadesi 2 tabanına çevrilirken (2^2)^{6m} = 2^{12m} olarak yazılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 73 Basamaklı Sayıyı 10^{73} Olarak Almak

  • Yanlış: 10^{73} yazıldığında sayı 1 ve 73 sıfırdan oluşur, bu da 74 basamaklı olur.
  • Doğru: 73 basamaklı en küçük sayı 10^{72}'dir.
  • Neden yanlış: 10^n sayısının basamak sayısı her zaman n+1’dir.

Benzer tipte yeni nesil bir üslü sayı sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?