Soruyu çöz
tanα - cotα = 6 olduğuna göre tanα + cotα ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevap:
Bu tür problemleri çözerken, \tan\alpha ve \cot\alpha terimlerini daha kolay ifade edebilmek için x ve y ile tanımlayabiliriz. Burada \tan\alpha = x ve \cot\alpha = \frac{1}{x}'dir.
Çözüm Adımları:
-
Denklem Sistemi Oluşturma:
\tan \alpha - \cot \alpha = 6 ifadesini, x - \frac{1}{x} = 6 şeklinde yazabiliriz.
-
İlk Denklemi Çözme:
Denklemi x^2 - 6x - 1 = 0 şeklinde bir polinom denkleme dönüştürebiliriz.
-
İkinci İfade:
Bizden istenen, \tan \alpha + \cot \alpha ifadesi yani x + \frac{1}{x}'in değeridir.
-
Polinomdan Kökler Bulma ve \tan \alpha + \cot \alpha Hesaplaması:
x - \frac{1}{x} = 6 polinomu çözüldüğünde, kökler elde edilir ve x + \frac{1}{x}'in değerine ulaşılır.
-
Pozitif Değerin Bulunması:
x + \frac{1}{x} = \sqrt{(x - \frac{1}{x})^2 + 4} formülü kullanılır.
$$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6^2 + 4} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$
Sonuç olarak, ifadenin alabileceği pozitif değer \boxed{2\sqrt{10}} olur.