Yanıt nerede
Cevap:
Sorunun çözümü için ABCDEF düzgün altıgeninin geometrik özelliklerini kullanacağız. Düzgün altıgenin tüm iç açıları eşittir ve düzgün bir çokgendir. Şimdi adım adım ilerleyelim:
Düzgün Altıgenin Genel Özellikleri
- Bir düzgün altıgenin tüm iç açıları eşittir.
- Bir düzgün altıgenin iç açılarının toplamı şu formül ile hesaplanır:
İç\ Açılar\ Toplamı = (n - 2) \times 180^\circ
Burada n düzgün altıgenin köşe sayısıdır (altıgende n=6). - Düzgün altıgenin her bir iç açısı:
Bir\ İç\ Açı = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}
Adım Adım Çözüm
- Düzgün altıgenin iç açıları toplamı:
İç\ Açılar\ Toplamı = (6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ
- Düzgün altıgenin bir iç açısı:
Bir\ iç\ açı = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ
Her bir açı 120^\circ olacak şekilde eşittir.
- \angle CDF açısının hesaplanması:
Düzgün altıgenin bir köşegenini çizerken oluşan açıları ve düzgün altıgenin simetrik yapısını kullanacağız. Şekilde \angle CDF açısına ulaşmak için düzgün altıgenin yapısına bakmamız gerekiyor. Şekildeki köşegen düzgün bir şekilde merkeze çarktığında, \angle CDF = 120^\circ olacaktır.
Özet Tablo
| Özellik | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| İç açıların toplamı | (n - 2) \times 180^\circ | 720^\circ |
| Bir iç açı | \frac{720^\circ}{6} | 120^\circ |
| \angle CDF açısı | Şekildeki simetri ve düzgünlük nedeniyle | 120^\circ |
Sonuç:
Düzgün altıgen ABCDEF içindeki \angle CDF açısı 120 derecedir.
ABCDEF düzgün altıgeninin CDF açısı kaç derecedir?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, düzenli (düzgün) bir altıgen olan ABCDEF’teki ∠CDF açısının ölçüsünü bulmak istiyoruz. Düzgün altıgenin tüm kenarları eşit uzunlukta ve iç açıları 120° olduğundan, belirli köşeler arasındaki diyagonaller ilginç geometrik ilişkiler gösterir. Yapılan analiz sonucunda ∠CDF = 90° olduğunu göreceğiz. Aşağıdaki adımlarda bu sonucu nasıl elde ettiğimizi detaylı şekilde inceleyebilirsiniz.
Table of Contents
1. Düzgün Altıgenin Özellikleri
- Bir düzgün altıgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- İç açılarının her biri 120°’dir.
- Merkezden her bir köşeye çizilen yarıçaplar, birer 60° aralıkla altı eşit dilim oluşturur.
- Düzgün altıgende belirli diyagonallerin birbirine dik olması sıklıkla karşımıza çıkan bir özelliktir.
2. Problemin Tanımı
Soru metni bize ABCDEF adında düzgün bir altıgen verildiğini ve ∠CDF açısının ölçüsünü sorduğunu belirtir. Yani, D köşesinden çıkan DC ve DF kenar/diyagonallerinin arasında kalan açının derecesi bulunmalıdır.
3. Adım Adım Çözüm
Aşağıdaki tabloda çözüm adımlarını inceleyebilirsiniz:
| Adım | İşlem |
|---|---|
| 1 | Düzgün altıgenin köşelerini koordinat düzeninde yerleştirme: Kolaylık olsun diye altıgenin merkezini orijine (0,0) alabilir ve her köşeyi 60° aralıklarla yerleştirebiliriz. |
| 2 | Koordinatları belirleme: Örneğin, yan yana iki köşeyi (A ve B) yatay eksende dizip, altıgeni dönerek C, D, E, F köşelerini sabit açı farkıyla yerleştirebiliriz. |
| 3 | Vektörlerin hesaplanması: D noktasından C ve F noktalarına vektörler oluşturulur. Düzgün altıgenin bilinen koordinatlarından hareketle bu vektörlerin dot çarpımı yapılır. |
| 4 | Dot çarpım ile açı bulma: İki vektörün dot çarpımı 0 ise, bu vektörler diktir. Buradan, ∠CDF’nin 90° olduğu anlaşılır. |
| 5 | Sonuç: ∠CDF açısı 90° yani dik açıdır. |
Vektör Yaklaşımı (Kısa Özet)
- Düzgün altıgeni (kenar uzunluğu 1 kabul edelim) koordinat sistemine şöyle yerleştirebiliriz:
- D=(-1,0)
- C=(-0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})
- F=(0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})
- \overrightarrow{DC} = C - D = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})
\overrightarrow{DF} = F - D = (1.5, -\frac{\sqrt{3}}{2}) - Dot çarpım:
\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DF} \;=\; 0.5\times1.5 \;+\;\frac{\sqrt{3}}{2}\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0.75 - 0.75=0
Dot çarpım 0 olduğundan, vektörler diktir. Dolayısıyla ∠CDF =90°.
4. Sonuç ve Özet
Düzgün altıgenin geometrik özelliklerinden yararlanarak veya koordinat yöntemiyle yapılan analiz sonucunda ∠CDF = 90° elde edilir. Bu, altıgen içerisinde D noktasından C ve F’ye çekilen diyagonallerin birbirine dik olduğunu göstermektedir.
Kısa Özet:
- Düzgün altıgenin tüm kenarları ve iç açıları bilinir (her iç açı 120°).
- Bazı özel diyagonaller 90°’lik açı oluşturur.
- Bu soruda, CDF üç noktası arasındaki açının 90° olduğu ortaya çıkar.
ABCDEF düzgün altıgeninin CDF açısının derece ölçüsü nedir?
Cevap:
Bir düzgün altıgen (her bir kenarı eşit ve iç açıları eşit olan çokgen) incelenirken, belirli bir açının ölçüsünü hesaplamak için düzgün altıgenin özelliklerini kullanmamız gerekir.
Düzgün Altıgenin Özellikleri
-
İç Açılar Toplamı:
Düzgün altıgenin iç açılarının toplamı şu formül ile bulunur:
İç\ Açılar\ Toplamı = (n - 2) \cdot 180
n: Köşe sayısıdır.- Düzgün altıgende n = 6 olduğu için:
İç\ Açılar\ Toplamı = (6 - 2) \cdot 180 = 720\ derece
- Düzgün altıgende n = 6 olduğu için:
-
Bir İç Açı:
Düzgün altıgenin her bir iç açısı eşit olduğundan tek bir iç açının ölçüsü:
Bir\ İç\ Açı = \frac{720}{6} = 120\ derece -
Merkez Açılar:
Merkezde yer alan her açı:
Merkez\ Açısı = \frac{360}{n}
Merkez\ Açısı = \frac{360}{6} = 60\ derece
CDF Açısının Hesaplanması
ABCDEF altıgeni düzgün olduğundan, belirli köşe noktaları arasındaki açı hesaplanabilir. Soruda CDF açısı soruluyor. Bu açı altıgenin içinden geçiyor ve merkezde bir açı oluşturuyor.
CDF Açısının Adımları:
-
Köşeler Arasındaki Yay Sayısı:
Altıgendeki köşeler sıralaması:- A, B, C, D, E, F şeklindedir.
- CDF açısı, C → D → F arasında oluşan açıdır ve 2 birim yay geçmektedir (C’den D’ye, D’den F’ye geçiş).
-
Her Bir Yayın Merkez Açısı:
Yukarıda hesapladığımız gibi merkezdeki bir yay açısı 60°’dir:- CDF için yayların toplamı: 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ
Peki buna alternatif bakış açısı şöyle olabilir:
Sonuç:
Düzgün altıgen içinde CDF açısının ölçüsü 120°.
Tablo:
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Altıgen İç Açılar Toplamı | (6 - 2) \cdot 180 | 720° |
| Bir İç Açı | \frac{720}{6} | 120° |
| Merkez Açı | \frac{360}{6} | 60° |
| CDF’yi Hesaplama | 60° + 60° | 120° |
Eğer ekstra sorularınız varsa ya da çözümün bir kısmı açıklanmalıysa, lütfen belirtin! 
@Elif_naz_Mutluer