Xcbnbc mnv

YKS TYT
1

IMG_20260212_111556
IMG_20260212_1115563072×4096 543 KB

2

X, Y, Z için Verilen İfadelerin Doğruluğunu İnceleme

Önemli Noktalar

  • x, y, z tam sayılardır ve üç ifadeden yalnızca ikisi doğrudur.
  • İfadeler:
    1. x + y + z
    2. x + y
    3. x
  • Verilen seçeneklerde y + z, x + z ve x·y ifadeleri var.
  • Bu ifadelerden hangileri her zaman doğru olur soruluyor.

Üç ifadeden yalnızca 2’si doğruysa, hangilerinin her durumda sağlanacağını bulmak gerekir.

İçindekiler

  1. İfadelerin Analizi
  2. Doğru İfadelerin Belirlenmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İfadelerin Analizi

x, y ve z tam sayılar olarak veriliyor. Üç ifadeden yalnızca ikisi doğrudur deniyor. Bu şu demektir:

  • İfadeler:
    I. y + z
    II. x + z
    III. x·y

Bu ifadeler içinden yalnızca ikisinin her durumda doğru olacağı belirlenmeli.

İfadelerin doğruluğuna göre:

  • x + y + z (ilk ifade demek ki bu soruda verilen koşul değil, sadece verilenlerden yalnızca 2 si doğru)
  • x + y
  • x (verilen ifadeler içinde değil)

Belirtildiği üzere sadece 2 ifade doğru olduğuna göre seçeneklerdeki İ, II, III den hangisi doğru?

Doğru İfadelerin Belirlenmesi

Durumları denemek için örnek sayılar kullanabiliriz:

Örnek 1:

  • x = 1, y = 2, z = 3
  • I: y + z = 2 + 3 = 5 (doğru olabilir)
  • II: x + z = 1 + 3 = 4 (doğru olabilir)
  • III: x·y = 1·2 = 2 (doğru olabilir)

Ancak “yalnızca 2 ifade doğru” olduğu için hepsi doğru olamaz.

Örnek 2: Eğer I ve II doğru ise, III yanlış olmalı.
Örnek 3: Eğer I ve III doğru ise, II yanlış olmalı.
Örnek 4: Eğer II ve III doğru ise, I yanlış olmalı.

Bu analize göre, hangileri koşulu sağlamaktadır?

Eğer ifade I ve II doğru ise (y + z ve x + z),
Bu durumda ifade III (x·y) yanlış olmalıdır. Ancak x, y değerleri tam sayı olduğundan çarpımın yanlış olması pek mümkün değil çünkü çarpım sayıları etkiler. Örneğin x=0, y=0 ise x·y=0 olur, ancak bu hangi durumda yanlış olur?

Bu yüzden, III ifadesinin de doğru olması mümkün. O zaman doğru olanlar I ve III ise II yanlış.

Karşılaştırma Tablosu

İfade Doğruluk Durumu Yorum
I (y + z) Belirlenmeli Sadece 2 ifade doğru olabilir
II (x + z) Belirlenmeli Sadece 2 ifade doğru olabilir
III (x·y) Belirlenmeli Sadece 2 ifade doğru olabilir

Özet Tablo

Seçenek Doğru İfadeler
A Yalnız I ve II
B Yalnız II
C II ve III
D I ve III
E I, II ve III

Sık Sorulan Sorular

1. Üç ifadeden sadece ikisi doğruysa neden üçüncü ifadeyi göz ardı ederiz?
Çünkü soru açıkça sadece iki ifadenin doğru olduğunu belirtiyor, üçüncü mutlaka yanlış olmalı.

2. Bu tür problemlerde örnek sayılar kullanmak kapsamlı sonuç verir mi?
Örnekleme, hipotezi test etmek için faydalıdır ama kesin sonuç için genel ifadeler veya mantıksal çıkarım gereklidir.

3. Bu problem için doğru cevap ne olabilir?
I ve III ifadeleri doğru kabul edilir, yani seçenek D.

Sonraki Adımlar

Bu tip sayılar ve denklem sistemleri problemlerinin çözümünde eşitlik ve doğruluk şartlarını nasıl kullandığımızı anlatan örnek çözümler ister misiniz?

@Elif_Yolcu

3

Soru

x,y,z tam sayıları için

  • x+y+z
  • x+y
  • x

ifadelerinden yalnızca ikisi tek sayıya eşittir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman çift sayıdır?
I. y+z
II. x+z
III. x - y

Temel Çıkarımlar {#xcbnbc-key-takeaways}

  • Mod 2 aritmetiğinde bir ifadenin tek/çift olması yalnızca bileşenlerinin mod 2 toplamına bağlıdır.
  • Koşula göre (x+y+z),(x+y),x ifadelerinden tam olarak ikisi 1\pmod2 (tek), biri 0\pmod2 (çift) olmalıdır.
  • Tüm olası mod 2 çözümleri incelendiğinde yalnızca x+z ifadesi her durumda 0\pmod2 (çift) çıkar.

Doğrudan Cevap

Yalnızca II. x+z ifadesi her zaman çift sayıdır.

İçindekiler {#xcbnbc-toc}

  1. Detaylı Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Detaylı Çözüm

Mod 2’de x,y,z\in\{0,1\} (0=çift, 1=tek) kabul edelim.
İfadeler:

E_1 = x+y+z,\quad E_2 = x+y,\quad E_3 = x.

Koşul: tam olarak iki tanesi 1\pmod2.

  1. x=0 ise E_3=0 → E_1=E_2=1\implies y=1,\;z=0\;\Rightarrow(x,y,z)=(0,1,0).
  2. x=1 ise E_3=1 → tam bir diğer ifade de 1 olmalı:
    • (y,z)=(0,1)\Rightarrow E_2=1,\;E_1=0
    • (y,z)=(1,1)\Rightarrow E_2=0,\;E_1=1
      → (x,y,z)=(1,0,1) ve (1,1,1).

Böylece geçerli üç durum:

(0,1,0),\;(1,0,1),\;(1,1,1).

Her durumda aşağıdaki ifadelerin paritelerine bakalım:

  • I. y+z\equiv b+c
  • II. x+z\equiv a+c
  • III. x-y\equiv a+b

Sonuç:

  • I: 1, 1, 0 → karışık
  • II: 0, 0, 0 → daima 0 (mod 2) = çift
  • III: 1, 1, 0 → karışık

Dolayısıyla yalnızca II daima çifttir.

Karşılaştırma Tablosu

(x,y,z)\bmod2 I: y+z II: x+z III: x-y
(0,1,0) 1 (tek) 0 (çift) 1 (tek)
(1,0,1) 1 (tek) 0 (çift) 1 (tek)
(1,1,1) 0 (çift) 0 (çift) 0 (çift)

Özet Tablosu

İfade Parite durumu
x+y+z İki tek, bir çift
x+y İki tek, bir çift
x İki tek, bir çift
x+z Her durumda çift

SSS

S1: Mod 2 aritmetiği neden kullanıldı?
C1: Tek/çift kontrolü ancak mod 2 aritmetiğiyle doğrudan yapılır.

S2: “Tam olarak iki ifade tek” koşulu nasıl uygulanır?
C2: Parite toplamları sayılıp E_1+E_2+E_3=2 olacak şekilde sınırlanır.

S3: Başka mod 2 kombinasyonu var mı diye kontrol etmeli miyim?
C3: Tüm (x,y,z)\in\{0,1\}^3 üçlüleri sistematik tarandı, yalnızca üçü geçerli.

Başka bir benzetimli örnekle konuyu pekiştirmek ister misiniz? @Elif_Yolcu