x , y , z ve t ardışık doğal sayıları için
\frac{x}{y} = \frac{4}{5}
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre y dot z çarpımının alabileceği en büyük değerin en küçük değerden farkı kaçtır?
A) 167
B) 176
C) 188
D) 198
E) 200
Ardışık Sayılarda Oran-Orantı ve Değer Aralığı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dört ardışık doğal sayı arasındaki fark en fazla 3 olabilir. \frac{x}{y} = \frac{4}{5} eşitliğinden x = 4k ve y = 5k (k \in \mathbb{Z}^+) yazıldığında, iki sayı arasındaki fark y - x = k olduğundan k değeri en fazla 3 olabilir (k \in \{1, 2, 3\}).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenlerin ve k Katsayısının Belirlenmesi
x, y, z, t sayıları ardışık dört doğal sayıdır. Verilen orana göre:
\frac{x}{y} = \frac{4}{5} \implies x = 4k, \quad y = 5k
Ardışık 4 doğal sayıdan seçilen herhangi iki sayının farkı en fazla 3 olabileceğinden:
y - x = 5k - 4k = k \implies k \in \{1, 2, 3\}
Adım 2 — y \cdot z Çarpımının En Büyük Değerinin Bulunması
Çarpımı maksimum yapmak için en büyük k değeri olan k = 3 seçilir:
x = 12, \quad y = 15
y - x = 3 olduğundan bu 4 ardışık sayı kümesi zorunlu olarak \{12, 13, 14, 15\} olur. y \cdot z değerinin en büyük olması için kalan sayılardan büyük olanı z olarak seçilir (z = 14):
(y \cdot z)_{\text{en büyük}} = 15 \times 14 = 210
Adım 3 — y \cdot z Çarpımının En Küçük Değerinin Bulunması
Çarpımı minimum yapmak için en küçük k değeri olan k = 1 seçilir:
x = 4, \quad y = 5
Bu sayıları içeren ve elemanları en küçük olan 4 ardışık doğal sayı kümesi \{2, 3, 4, 5\} olarak belirlenir. y \cdot z değerinin en küçük olması için kalan sayılardan küçük olanı z olarak seçilir (z = 2):
(y \cdot z)_{\text{en küçük}} = 5 \times 2 = 10
Adım 4 — Farkın Hesaplanması
(y \cdot z)_{\text{en büyük}} - (y \cdot z)_{\text{en küçük}} = 210 - 10 = 200
CEVAP: E) 200
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda x, y, z, t sayılarının küçükten büyüğe sıralı olduğu belirtilmemiştir. Bu tip sorularda ardışık elemanlar kümesindeki maksimum fark kısıtı (n+3 - n = 3) kullanılarak orantı sabiti k’nin alabileceği tüm tam sayı değerleri test edilmelidir.