- x, y ve z birer, tam sayı olmak üzere,
Xy-4 z = 12
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğ-
rudur?
A) x tek, y çift sayıdır.
B) X ve y den en az biri çift sayıdır.
C) x çift, y tek sayıdır.
E) x ve y çift sayıdır.
SORU BANKASI
x, y ve z Tam Sayıları İçin Kesinlikle Doğru Olan İfadeyi Bulma
[KULLANILAN TEMEL KAVRAMLAR:]
Tam sayılarda teklik ve çiftlik kuralları:
- \text{Çift} \pm \text{Çift} = \text{Çift}
- \text{Çift} \times \text{Tam Sayı} = \text{Çift} (Bir çarpan çift ise sonuç her zaman çifttir)
- \text{Tek} \times \text{Tek} = \text{Tek} (Sonucun tek olması için tüm çarpanlar tek olmalıdır)
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Denklemi Düzenleyelim
Verilen denklem: x \cdot y - 4 \cdot z = 12
Burada -4z ifadesini karşıya atarak x \cdot y çarpımını yalnız bırakalım:
x \cdot y = 12 + 4 \cdot z
Adım 2 — Eşitliğin Sağ Tarafını İnceleyelim
- 12 sayısı bir Çift sayıdır.
- 4 \cdot z ifadesinde 4 çift bir sayı olduğu için, z tam sayısı ne olursa olsun (tek veya çift), 4 \cdot z her zaman Çift bir sayıdır.
- İki çift sayının toplamı (\text{Çift} + \text{Çift}) her zaman Çift sonuç verir.
- Bu durumda: x \cdot y = \text{Çift} sonucuna ulaşırız.
Adım 3 — Çarpımın Çift Olma Koşulunu Değerlendirelim
İki tam sayının çarpımı (x \cdot y) çift ise, şu üç durumdan biri geçerli olmalıdır:
- x çift, y çift olabilir.
- x çift, y tek olabilir.
- x tek, y çift olabilir.
Bu üç durumun ortak ve kesin olan tek noktası şudur: x ve y sayılarından en az biri mutlaka çift olmalıdır. Eğer her ikisi de tek olsaydı, çarpım tek olurdu.
Adım 4 — Seçeneklerin Analizi
- A) x tek, y çift sayıdır: Bu bir ihtimaldir ama kesin değildir (x çift, y tek de olabilir).
- B) x ve y den en az biri çift sayıdır: Bu ifade yukarıdaki 3 durumu da kapsadığı için kesinlikle doğrudur.
- C) x çift, y tek sayıdır: Bu bir ihtimaldir ama kesin değildir.
- D) x ve y tek sayıdır: Bu yanlıştır, çünkü çarpım çift olmalıdır.
- E) x ve y çift sayıdır: Bu bir ihtimaldir ama kesin değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) x ve y den en az biri çift sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Çift Sayı Yutan Eleman Özelliği
- [Tanım:] Bir çarpma işleminde çarpanlardan biri çift ise sonuç çifttir.
- [Bu problemde:] 4 \cdot z ifadesi, z hakkında bilgi vermez ancak sonucun çift olduğunu kesinleştirir.
2. Kesinlik Soruları
- [Tanım:] Tüm ihtimallerde değişmeyen tek bir sonuç aranır.
- [Bu problemde:] z değişkeni hakkında hiçbir kesin yargıya varılamaz çünkü katsayısı çifttir ve z değerini “yutar”.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
z Hakkında Yorum Yapmak
- [Yanlış:] “4z çift ise z de çifttir” demek.
- [Doğru:] z tek de olsa çift de olsa 4z çifttir. Bu yüzden z hakkında “kesin” bir yargıya varılamaz.
- [Neden yanlış:] Katsayısı çift olan bir sayının kendisi hakkında teklik-çiftlik yorumu yapılamaz.
Benzer bir mantıkla hazırlanan farklı bir teklik-çiftlik sorusu çözmemi ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Tabii ki Muhammed, bu soruyu teklik-çiftlik kurallarını kullanarak en basit haliyle, adım adım inceleyelim.
x, y ve z Tam Sayıları İçin Kesinlik Analizi
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
- Çift Sayı Kuralı: Bir tam sayıyı çift bir sayıyla çarparsanız, sonuç her zaman çift olur. (2 \cdot n = \text{Çift})
- Toplama Kuralı: İki çift sayının toplamı veya farkı her zaman çift bir sayıdır. (\text{Çift} \pm \text{Çift} = \text{Çift})
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Denklemi Çözüm İçin Düzenleyelim
Verilen denklem: x \cdot y - 4z = 12
Analiz yapmayı kolaylaştırmak için x \cdot y ifadesini yalnız bırakalım:
x \cdot y = 12 + 4z
Adım 2 — Eşitliğin Sağ Tarafını Analiz Edelim
Denklemin sağ tarafındaki her bir terimi inceleyelim:
- 12: Bildiğimiz üzere Çift bir sayıdır.
- 4z: 4 sayısı çift olduğu için, z tam sayısı ne olursa olsun (tek veya çift fark etmez), 4 ile çarpıldığında sonuç daima Çift olur.
- Sonuç: \text{Çift} (12) + \text{Çift} (4z) = \mathbf{Çift}
Yani denklemin sağ tarafı kesinlikle bir çift sayıdır. Bu durumda sol taraf olan x \cdot y çarpımı da çift olmak zorundadır.
Adım 3 — x · y Çarpımının Çift Olma Şartını Belirleyelim
Bir çarpma işleminin sonucunun Çift çıkabilmesi için çarpanlardan en az bir tanesinin çift olması yeterlidir. Olası durumlar şunlardır:
- x Çift, y Çift olabilir (Çarpım Çift).
- x Çift, y Tek olabilir (Çarpım Çift).
- x Tek, y Çift olabilir (Çarpım Çift).
Adım 4 — Kesinlik Karşılaştırması
Soruda bizden “kesinlikle doğru” olanı istiyor:
- A, C ve E seçenekleri yukarıdaki durumlardan sadece birini söyler (Örn: Sadece x çift, y tektir der). Ancak diğer durumlar da mümkün olduğu için bunlar “kesin” değildir.
- B seçeneği ise “x ve y’den en az biri çifttir” diyerek yukarıdaki tüm ihtimalleri kapsar. Çarpımın çift olması için bu şartın sağlanması zorunludur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) x ve y den en az biri çift sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Katsayısı Çift Olan Terimler
- [Tanım:] 4z, 2a, 6b gibi ifadelerde katsayı çift ise, değişkenin (z, a, b) tek mi çift mi olduğunu asla bilemeyiz.
- [In this problem:] Bu yüzden z hakkında yorum içeren şıklar (eğer olsaydı) doğrudan elenirdi.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Teklik-Çiftlikte Bölme Yapmak
- [Yanlış:] Denklemi her iki tarafı 4’e bölerek incelemeye çalışmak.
- [Doğru:] Teklik ve çiftlik analizleri her zaman tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma üzerinden yapılmalıdır.
- [Neden yanlış:] Bölme işlemi tam sayı sonucunu bozabilir ve analizi imkansız kılar.
Bu çözüm yolu senin için net oldu mu? Eğer istersen katsayısı çift olan farklı bir soru tipiyle bu kuralı pekiştirebiliriz.