X, y ve Z pozitif tam sayıları için X+y ifadesinin bir çift tam sayı, ifadesinin bir tek tam sayı olduğu bilinmektedir

YKS TYT
1

X, y ve Z pozitif tam sayıları için
X+y ifadesinin bir çift tam sayı,
X \cdot Z
ifadesinin bir tek tam sayı
olduğu bilinmektedir.
Buna göre
0:00/2:31
ifadelerinden hangileri her zaman çift
sayidır?
A) Yalnız |
B) Yalnız |ll
YKS DENEMESİ -TYT MATEMATİK
D) Il ve lII
C) I ve I
E) I, Il ve ll

X, y ve Z pozitif tam sayıları için X+y ifadesinin bir çift tam sayı, X·Z ifadesinin...
X, y ve Z pozitif tam sayıları için X+y ifadesinin bir çift tam sayı, X·Z ifadesinin...1024×768 45.3 KB

2

x, y ve z Pozitif Tam Sayıları İçin Teklik-Çiftlik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / TANIM:

  • \frac{A}{B} = \text{Çift} ise A = B \cdot \text{Çift} \implies A kesinlikle Çift sayıdır.
  • \text{Tek} \pm \text{Tek} = \text{Çift}, \text{Çift} \pm \text{Çift} = \text{Çift}, \text{Tek} \pm \text{Çift} = \text{Tek}
  • \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek}, \text{Çift} \cdot (\text{Tam Sayı}) = \text{Çift}
  • Pozitif tam sayılar için \text{Tek}^{\text{Pozitif Tam Sayı}} = \text{Tek}, \text{Çift}^{\text{Pozitif Tam Sayı}} = \text{Çift}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen ifadelerden x, y, z değişkenlerinin parite (teklik/çiftlik) durumlarını belirleme

  1. \frac{x+y}{z} ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre:

    x + y = z \cdot (\text{Çift}) \implies x + y = \text{Çift}

    Toplamları çift olduğu için x ve y aynı tür sayılardır:

    • 1. Durum: x ve y ikisi de Tek sayıdır.
    • 2. Durum: x ve y ikisi de Çift sayıdır.

  2. \frac{x \cdot z}{y} ifadesi bir tek tam sayı olduğuna göre:

    • 1. Durum için (x = \text{Tek}, y = \text{Tek}):

      \frac{\text{Tek} \cdot z}{\text{Tek}} = \text{Tek} \implies z = \text{Tek}

      (Örnek sağlama: x = 3, y = 3, z = 1 \implies \frac{3+3}{1} = 6 \text{ (Çift)}, \frac{3 \cdot 1}{3} = 1 \text{ (Tek)})

    • 2. Durum için (x = \text{Çift}, y = \text{Çift}):
      z sayısı tek veya çift olabilir.
      (Örnek sağlama: x = 6, y = 2, z = 1 \implies \frac{6+2}{1} = 8 \text{ (Çift)}, \frac{6 \cdot 1}{2} = 3 \text{ (Tek)})

Adım 2 — Öncülleri İnceleme

  • I. Öncül: x \cdot (y + z)

    • x Çift ise: Çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile çarpımı daima Çifttir (x \cdot (y+z) = \text{Çift}).
    • x Tek ise: Bu durumda y = \text{Tek} ve z = \text{Tek} olmak zorundadır. Buradan y + z = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} olur. Dolayısıyla x \cdot (y+z) = \text{Tek} \cdot \text{Çift} = \text{Çift} elde edilir.
    • Her iki durumda da sonuç kesinlikle ÇİFTtir.

  • II. Öncül: x^y + z

    • x = 6 (Çift), y = 2 (Çift), z = 1 (Tek) seçilirse:
      x^y + z = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37 \text{ (Tek)}
    • Her zaman çift değildir.

  • III. Öncül: x + y + z

    • x = 3 (Tek), y = 3 (Tek), z = 1 (Tek) seçilirse:
      x + y + z = 3 + 3 + 1 = 7 \text{ (Tek)}
    • Her zaman çift değildir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

  • Tanım: 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift (2k), bölünemeyenlere tek (2k+1) sayı denir.
  • Bu problemde: İki sayının toplamının çift olması, o sayıların aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olduğunu göstermektedir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: z’nin Tek/Çift Durumunu Sabit Kabul Etmek

  • Yanlış: Bölme işlemlerinde paydanın yalnızca tek veya çift olacağını varsayarak tek bir örnek üzerinden tüm öncülleri doğru kabul etmek.
  • Doğru: İfadeyi sağlayan tüm x, y, z pozitif tam sayı olasılıklarını (özellikle ters örnekleri) test etmek.
  • Neden yanlış: Tek bir durum üzerinden test yapmak, her zaman geçerli olmayan II ve III gibi öncüllerin elenmesini engeller.

Benzer mantıkta TYT tarzı bir teklik-çiftlik sorusu daha çözmemi ister misin?