x , y ve z pozitif tam sayılardır.
2x + 3y + 4z = 46
olduğuna göre, z’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Birinci Dereceden Üç Bilinmeyenli Denklemde En Büyük Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Pozitif tam sayılar kümesi: \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}
- Bir denklemde bir değişkenin en büyük (maksimum) değerini alabilmesi için diğer değişkenlere verilebilecek en küçük pozitif tam sayı değerleri verilmelidir.
- Çift sayı kuralı: \text{Çift} - \text{Çift} = \text{Çift}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — z ifadesini yalnız bırakma ve üst sınırı belirleme
z’nin en büyük değerini bulmak için 4z ifadesini yalnız bırakalım:
4z = 46 - (2x + 3y)
x ve y pozitif tam sayı olduğundan en küçük değerleri en az 1 olabilir (x \ge 1, y \ge 1):
2x + 3y \ge 2(1) + 3(1) = 5
4z \le 46 - 5 = 41 \implies z \le \frac{41}{4} = 10{,}25
Bu durumda z’nin alabileceği en büyük tam sayı adayı z = 10’dur.
Adım 2 — z = 10 durumunun incelenmesi
z = 10 için denklemi test edelim:
2x + 3y + 4(10) = 46
2x + 3y = 6
y = 1 için: 2x + 3 = 6 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} (x tam sayı değil).
y \ge 2 için: 3y \ge 6 \implies 2x \le 0 (x pozitif tam sayı olamaz).
Dolayısıyla z = 10 olamaz.
Adım 3 — z = 9 durumunun incelenmesi
Bir sonraki en büyük tam sayı olan z = 9 değerini deneyelim:
2x + 3y + 4(9) = 46
2x + 3y + 36 = 46
2x + 3y = 10
Bu denklemde 2x ve 10 çift sayıdır. Eşitliğin sağlanması için 3y ifadesinin de çift olması, yani y’nin çift bir pozitif tam sayı olması gerekir:
- y = 2 olsun:
2x + 3(2) = 10
2x + 6 = 10
2x = 4 \implies x = 2
x = 2, y = 2 ve z = 9 değerlerinin tümü pozitif tam sayıdır ve denklemi sağlar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
z’nin alabileceği en büyük değer 9’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pozitif Tam Sayı: 0 pozitif bir tam sayı değildir; bu nedenle değişkenlere verilebilecek en küçük değer 1’dir.
- Teklik-Çiftlik Dengesi: Katsayısı çift olan terimler (2x, 4z, 46) daima çift sonuç üretir. Bu durum diğer terimlerin (3y) teklik-çiftlik durumunu belirlemede pratik bir yol sunar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 4z \le 41 bulup doğrudan z = 10 demek ve x, y’nin pozitif tam sayı çıkıp çıkmadığını kontrol etmemek.- Doğru Yaklaşım: Bulunan sınır değerinin diğer değişkenleri pozitif tam sayı yapıp yapmadığını yerine koyarak teyit etmek.
Bu soru tipinde katsayısı en küçük olan değişkenin en büyük değerini bulmaya yönelik benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?