X, y ve z pozitif tam sayılardır.
X =Z+ 4
y =9-Z
olduğuna göre, xy çarpIminin alabileceği en
küçük değer kaçtır?
x, y ve z Pozitif Tam Sayıları İçin x \cdot y Çarpımının En Küçük Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Pozitif tam sayılar kümesi \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\} biçimindedir. Değişkenlerin alabileceği değer aralığını belirlemek için verilen koşullar eşitsizlik olarak yazılır:
z \ge 1 \quad \text{ve} \quad y \ge 1
x \cdot y = (z + 4)(9 - z)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — z Değişkeninin Alabileceği Değer Aralığını Belirleme
x, y ve z sayılarının pozitif tam sayı olduğu belirtilmiştir:
- z \ge 1
- y = 9 - z \ge 1 \implies z \le 8
Buradan z sayısının alabileceği tam sayı değerleri kümesi bulunur:
z \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
Adım 2 — x \cdot y Çarpımını z Cinsinden Yazma
x ve y ifadeleri çarpılır:
x \cdot y = (z + 4) \cdot (9 - z)
Adım 3 — Uç Değerleri İnceleyerek En Küçük Sonucu Bulma
x \cdot y ifadesinin en küçük değerini bulmak için z’nin sınır değerleri (z = 1 ve z = 8) ve ara değerleri incelenir:
-
z = 1 için:
x = 1 + 4 = 5y = 9 - 1 = 8x \cdot y = 5 \times 8 = 40 -
z = 8 için:
x = 8 + 4 = 12y = 9 - 8 = 1x \cdot y = 12 \times 1 = 12
z değeri 1’den 8’e doğru arttıkça y değeri küçülmekte ve z = 8 noktasında çarpım minimum değerine ulaşmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayı Tanımı
- Tanım: 0’dan büyük olan tam sayılardır (\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}).
- Bu problemde: y ve z’nin en az 1 olması gerektiği kısıtı, z’nin alabileceği en büyük değerin 8 olmasını sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
y’yi 0 veya Negatif Seçmek
- Yanlış: z = 9 alıp y = 9 - 9 = 0 \implies x \cdot y = 0 bulmak.
- Doğru: Soruda y’nin pozitif tam sayı (y \ge 1) olduğu verildiğinden y = 0 olamaz; en küçük y = 1 (z = 8) alınmalıdır.
- Neden yanlış: 0 sayısı pozitif bir tam sayı değildir, nötrdür.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir en büyük/en küçük değer sorusu çözmemi ister misin?