X , y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere

Question Answer
1

x , y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere
18x + 13 = 15y + 10 = 12z + 7
olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır?
A) 44
B) 37
C) 54
D) 34
E) 14

x , y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere 18x + 13 = 15y + 10 = 12z + 7 olduğuna göre,...
x , y ve z pozitif tam sayılar olmak üzere 18x + 13 = 15y + 10 = 12z + 7 olduğuna göre,...1024×525 132 KB

2

EKOK Yardımıyla Bölünebilme ve Değişkenler Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir eşitlikte bölen ile kalan arasındaki farklar eşit olduğunda, eşitliğin her tarafına uygun bir sayı eklenerek ortak çarpan parantezine alınır ve \text{EKOK} kullanılır:
A + k = a(x + 1) = b(y + 1) = c(z + 1) \implies (A + k) = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot n

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Katsayılar ile Kalanlar Arasındaki İlişkiyi Belirleme
Verilen eşitliğe A diyelim:

A = 18x + 13 = 15y + 10 = 12z + 7

Katsayılar ile sabit sayılar arasındaki farkı inceleyelim:

  • 18 - 13 = 5
  • 15 - 10 = 5
  • 12 - 7 = 5

Eşitliğin her bir tarafına 5 eklediğimizde ifadeler katsayıların tam katı haline gelir:

A + 5 = 18x + 18 = 15y + 15 = 12z + 12
A + 5 = 18(x + 1) = 15(y + 1) = 12(z + 1)

Adım 2 — En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplama
A + 5 sayısı; 18, 15 ve 12 sayılarının pozitif bir ortak katı olmalıdır. x, y, z pozitif tam sayılarının en küçük değerleri için en küçük ortak katı buluruz:

  • 18 = 2 \cdot 3^2
  • 15 = 3 \cdot 5
  • 12 = 2^2 \cdot 3
\text{EKOK}(18, 15, 12) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180

Dolayısıyla en küçük değer için:

A + 5 = 180

Adım 3 — Değişkenlerin Değerlerini ve Toplamını Bulma
Elde edilen eşitlikten x, y ve z değerlerini çekelim:

  • 18(x + 1) = 180 \implies x + 1 = 10 \implies x = 9
  • 15(y + 1) = 180 \implies y + 1 = 12 \implies y = 11
  • 12(z + 1) = 180 \implies z + 1 = 15 \implies z = 14

Değerlerin toplamı:

x + y + z = 9 + 11 + 14 = 34

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 34
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • EKOK (En Küçük Ortak Kat): Farklı periyotlarla veya bölenlerle verilen sayıların aynı anda sağlandığı en küçük ortak değeri bulmak için kullanılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: (x+1) + (y+1) + (z+1) = 10 + 12 + 15 = 37 değerini bulup 1’leri çıkarmayı unutarak doğrudan 37’yi (B şıkkını) işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Her değişkenden eklenen 1 fazlalığı düşerek x=9, y=11, z=14 değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp toplamak.

Benzer bir EKOK kalan problemiyle pratik yapıp pekiştirmek ister misin?