!image|375x500 [Link Silindi]
9. soru: x, y, z farklı doğal sayılar için z’nin alabileceği en büyük değer nedir?
Önemli Noktalar
- Denklemin sağ tarafı 44, sol taraf ise 5x + 4y + 3z.
- x, y, z farklı doğal sayılar.
- Amaç: z’yi maksimum yapmak.
Denklik:
5x + 4y + 3z = 44
x, y, z ≠ birbirine eşit, doğal sayılar (1, 2, 3, …)
Çözüm Yaklaşımı
En büyük z’yi bulmak için z’yi maksimum yapmak istiyoruz. O zaman x ve y’nin alabileceği en küçük farklı değerleri alması gerekir, çünkü 5x ve 4y terimleri arttıkça z için ayrılacak değer azalır.
- En küçük iki farklı doğal sayı 1 ve 2 olabilir (en küçük olduğu için).
- x ve y’yi 1 ve 2 olarak alıp deneyelim (farklı olacak şekilde).
Senaryolar:
-
x=1, y=2 → 5(1)+4(2)=5+8=13
Burada 3z=44-13=31 → z=31/3 değil doğal sayı değil. -
x=2, y=1 → 5(2)+4(1)=10+4=14
3z=44-14=30 → z=10 doğal sayı ve 10 ≠ 1,2 ve farklı.
Şimdi z=10.
Ama z’nin daha büyük olması için başka kombinasyonlar denenebilir mi?
Örneğin x ve y farklı doğal sayılar 3 ve 1:
-
x=3, y=1 → 5(3)+4(1)=15+4=19
3z=44-19=25 → z=25/3 değil. -
x=1, y=3 → 5(1)+4(3)=5+12=17
3z=44-17=27 → z=9, 9 ≠ 3,1 farklı
z=10 > z=9 olduğundan önceki daha iyi.
Başka olasılıklar:
x=4, y=1 → 5(4)+4(1)=20+4=24
3z=44-24=20 → z=6.66 değil.
x=3, y=2 → 15+8=23
3z=21 → z=7
Z=10 en büyüğü.
Sonuç: z için alabileceği en büyük doğal sayı 10.
10. soru: a’nın alabileceği en küçük değer nedir?
Verilen:
a = 3b + 2
b = c + 4
a, b, c doğal sayılar
Amaç: a’nın en küçük değeri.
Öncelikle c’nin alabileceği en küçük doğal sayı 1 (doğal sayılar 1,2,… kabul edilirse).
-
c=1
b = 1 + 4 = 5
a = 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17 -
c=0 ise (eğer doğal sayılar 0 dahil ediliyorsa)
b=0+4=4
a=3(4)+2=12+2=14
Şıklara bakılırsa (D şıkkı 14) cevabın 14 olduğu işaretlenmiş.
Burada doğal sayılar 0 dahil kabul edilmiş gibi.
Sonuç: a’nın alabileceği en küçük değer 14.
Sonuçlar
-
- sorunun cevabı: D) 10
-
- sorunun cevabı: D) 14
Sonraki Adımlar
Bu tür doğal sayı problmlerini çözmekte zorlanıyorsanız “Denklemde doğal sayılarla çalışma teknikleri” üzerine detaylı örnekler öğrenmek ister misiniz?
@basak_akn
x, y ve z farklı doğal sayılar olmak üzere, 5x + 4y + 3z = 44 olduğuna göre, z’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
- x, y, z farklı doğal sayılardır (doğal sayılar kümesine 0 dahildir).
- Denklemde 5x + 4y + 3z = 44 koşulunu sağlamalıdır.
- z’yi maksimum yapmak için x ve y mümkün olduğunca küçük, fakat birbirinden ve z’den farklı seçilmelidir.
Çözüm
Denklem:
5x + 4y + 3z = 44
z’yi maksimum yapmak için sağ taraftaki 44 - 3z ifadesi, 5x + 4y toplamını en küçük değerde tutmalıdır. Deneyelim:
-
z = 14 için
5x + 4y = 44 - 3\cdot14 = 2
En küçük doğal değerler x,y\ge0 olsa bile 5x+4y\ge0 ve bu toplam 2’ye ulaşamaz. Geçersiz. -
z = 13 için
5x + 4y = 44 - 3\cdot13 = 5
Tek tamsayı çözümü (x,y)=(1,0) veya (0,1,25) gibi doğal olmayan durumlar. Geçersiz. -
z = 12 için
5x + 4y = 44 - 3\cdot12 = 8
Doğal sayılarda tek çözüm $(x,y)=(0,2)$’dir. Burada x\neq y\neq z koşulu sağlanıyor.
Dolayısıyla z için alabileceğimiz en büyük değer 12’dir.
Cevap: B) 12
Özet Tablo
| Değişken | Koşul | Sonuç |
|---|---|---|
| x, y, z | Farklı doğal sayılar | x=0, y=2, z=12 |
| Denklem | 5x + 4y + 3z = 44 | 5\cdot0 + 4\cdot2 + 3\cdot12 = 44 |
| Maksimum z | Deneme-yanılma ile bulunur | 12 |
SSS
- Doğal sayılar kümesine 0 dâhil midir?
- TYT’de doğal sayılar genellikle 0,1,2,\dots olarak kabul edilir.
- Farklı doğal sayılar koşulu neden önemli?
- x, y ve z birbirine eşit olamaz; bu, bazı çözümleri eler.
- Denklemlerle maksimum ya da minimum değer bulurken izlenecek kısa yol nedir?
- Önce hedef değişkeni (burada z) en yüksek ya da en düşük değerde varsayarak kalan terimlerin toplamını kontrol etmek.
- Başka bir yöntem var mı?
- Parametrik denklem çözümü veya tam sayılar teorisi yaklaşımları da kullanılabilir.
Başka benzer sorular çözmek ister misiniz? @basak_akn