x , y ve z birer tam sayıdır.
2x = 3y
3z = 2y
olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
A) 24
B) 32
C) 36
D) 38
E) 42
Tam Sayılarda Oran-Orantı ve Kat Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birden fazla orantı verildiğinde ortak değişkenin katsayıları EKOK (en küçük ortak kat) yardımıyla eşitlenir; değişkenlerin tam sayı olması için ortak bilinmeyenin katsayısının bir tam sayı katı (k \in \mathbb{Z}) alınmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Değişken Üzerinden Orantı Kurma
Verilen 2x = 3y ve 3z = 2y eşitliklerinde ortak olan değişken y’dir. İfadeleri oran biçiminde yazalım:
\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{ve} \quad \frac{z}{y} = \frac{2}{3}
Her iki oranda y’nin karşısındaki sayıları eşitlemek için 2 ve 3’ün en küçük ortak katı olan 6’da buluşturalım:
\frac{x}{y} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} \implies x = 9k, \quad y = 6k
\frac{z}{y} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} \implies z = 4k
Adım 2 — Toplamın Katını Bulma ve Değer Verme
x, y ve z birer tam sayı olduğundan k bir tam sayı (k \in \mathbb{Z}) olmalıdır. İfadelerin toplamını k cinsinden hesaplayalım:
x + y + z = 9k + 6k + 4k = 19k
Toplam 19’un tam sayı katı olmalıdır. Seçenekleri incelediğimizde k = 2 için:
x + y + z = 19 \cdot 2 = 38
CEVAP: D) 38 (x + y + z = 19k)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür tam sayı sorularında değişkenlerin paydada tam bölünebilmesi için ortak elemanın (y) katsayılarının EKOK’una dikkat edilmelidir. y, hem 2’ye hem de 3’e bölünmek zorunda olduğu için kesinlikle 6’nın tam katı olmalıdır.