x , y ve z birer gerçek sayı,
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre,
I.
x \cdot y \cdot z < 0
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) II ve III
Gerçek Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir. İki sayının bölümü pozitif ise sayıların işaretleri aynı, toplamları ise negatif sayıların toplamı kuralına göre negatiftir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Eşitsizliklerden Değişkenlerin İşaretlerini ve Aralıklarını Belirleme
Verilen \frac{x}{y} < y < 0 < \frac{y}{z} eşitsizlik zincirini parça parça inceleyelim:
- y < 0 olduğu doğrudan görülmektedir (y negatif bir sayıdır).
- 0 < \frac{y}{z} ifadesinde, y < 0 olduğundan sonucun pozitif olabilmesi için z de negatif olmalıdır (z < 0).
- \frac{x}{y} < y eşitsizliğinde, her iki tarafı negatif olan y sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:
x > y^2
y \neq 0 olduğundan y^2 > 0’dır. Dolayısıyla x > y^2 > 0 bulunur, yani x kesinlikle pozitiftir (x > 0).
Adım 2 — Öncüllerin Doğruluğunu İnceleme
-
I. x \cdot y \cdot z < 0:
İşaretlerin çarpımı: (+) \cdot (-) \cdot (-) = + > 0 olur. Dolayısıyla x \cdot y \cdot z > 0 olmalıdır, bu öncül yanlıştır. -
II. (y + z) \cdot x < 0:
y < 0 ve z < 0 olduğundan iki negatif sayının toplamı da negatiftir (y + z < 0).
x > 0 olduğundan:(y + z) \cdot x = (-) \cdot (+) < 0Bu ifade daima doğrudur.
-
III. \frac{x - z}{y} < 0:
x > 0 ve z < 0 olduğundan pay kısmı x - z = x + (-z) > 0 (pozitif) olur.
Payda ise y < 0 (negatif) olduğundan:\frac{x - z}{y} = \frac{+}{-} < 0Bu ifade daima doğrudur.
CEVAP: E) II ve III
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir eşitsizlik negatif bir terimle çarpıldığında yön değiştirir. \frac{x}{y} < y eşitsizliğinde y < 0 olduğu için x > y^2 elde edilir; reel sayıların karesi daima pozitif olduğundan x’in işareti doğrudan +, değeri ise y^2’den büyük bulunur.