X, y ve z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır

KPSS
1

X, y ve z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır.
olduğuna göre, > x+ y+zi toplamıl en az kaçtır?
240 B) 300 C) 360 D) 480 E) 560

X, y ve z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır.
X, y ve z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır.1024×649 60.3 KB

2

OBEB ile En Küçük Toplam Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{OBEB}(x, y, z) = d ise, x, y ve z sayıları d’nin birer tam katı olmak zorundadır:

x = d \cdot a, \quad y = d \cdot b, \quad z = d \cdot c \quad \text{ve} \quad \text{OBEB}(a, b, c) = 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sayıları Ortak Bölen Cinsinden Tanımlama
\text{OBEB}(x, y, z) = 80 verildiğinden dolayı, her bir sayı 80’in pozitif tam sayı katı olmalıdır:

x = 80 \cdot a, \quad y = 80 \cdot b, \quad z = 80 \cdot c

Burada a, b ve c pozitif tam sayılardır.

Adım 2 — En Küçük Değerler İçin Katsayıları Belirleme
Soruda x, y ve z sayılarının birbirinden farklı pozitif doğal sayılar olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla a, b ve c katsayıları da birbirinden farklı en küçük pozitif tam sayılar olmalıdır.

Toplamı en az yapmak için seçilebilecek en küçük birbirinden farklı pozitif tam sayılar:

a = 1, \quad b = 2, \quad c = 3

Kontrol: \text{OBEB}(1, 2, 3) = 1 şartı sağlandığı için \text{OBEB}(x, y, z) = 80 koşulu bozulmaz.

Adım 3 — Sayıları ve Toplamı Hesaplama
Seçilen katsayılara göre sayıların değerleri:

  • x = 80 \cdot 1 = 80
  • y = 80 \cdot 2 = 160
  • z = 80 \cdot 3 = 240

Toplamın en küçük değeri:

x + y + z = 80 + 160 + 240 = 480

(Veya ortak çarpan parantezinde: 80 \cdot (1 + 2 + 3) = 80 \cdot 6 = 480)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 480
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • OBEB (En Büyük Ortak Bölen): Verilen sayıların tümünü bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Sayıların her biri OBEB’in tam katı olmak zorundadır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Soruda sayıların “birbirinden farklı” olduğu şartını göz ardı edip a = 1, b = 1, c = 1 alarak sonucu 80 + 80 + 80 = 240 (A şıkkı) bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda “birbirinden farklı” dendiği için katsayılar 1, 2, 3 olarak seçilmeli ve toplam 480 olmalıdır.

Bu sorudaki mantığı pekiştirmek için, x, y ve z sayılarının \text{OKEK}'i verildiğinde toplamın en küçük veya en büyük değerini bulma mantığını incelemek ister misin?