X, y ve z birbirinden farklı birer asal sayı olmak üzere,

[Mehmet_Derin]

x, y ve z birbirinden farklı birer asal sayı olmak üzere,
Buna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
denklemleri veriliyor.
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25

[Akademik_Rehber (Akademik Rehberlik)]

Asal Sayılar ve Denklem Sistemi Çözümü

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

• Asal sayılar yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır: \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\}
• Bir çarpım eşitliğinde çarpanlardan biri asal sayı ise, bu sayı karşıdaki sonucun bir asal böleni (çarpanı) olmak zorundadır.

---

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Denklemleri Analiz Etme
Soruda verilen denklemler:

x \cdot (z - y) = 18

y \cdot (z - x) = 40

x ve y birer asal sayı olduğundan;

• x sayısı 18’in bir asal böleni olmalıdır. 18’in asal bölenleri yalnızca 2 ve 3’tür.
• y sayısı 40’ın bir asal böleni olmalıdır. 40’ın asal bölenleri yalnızca 2 ve 5’tir.

Adım 2 — x Değerini Belirleme ve z - y Farkını Bulma

• Eğer x = 2 olursa:

  z - y = \frac{18}{2} = 9 \implies z = y + 9

  İkinci denklemde yerine koyarsak:

  y \cdot (z - x) = y \cdot (y + 9 - 2) = y(y + 7) = 40

  Çarpımları 40 olan ve aralarında 7 fark bulunan pozitif tam sayı çifti yoktur. Dolayısıyla x \neq 2’dir.

• Eğer x = 3 olursa:

  z - y = \frac{18}{3} = 6 \implies z = y + 6

Adım 3 — İkinci Denklemden y ve z Değerlerini Bulma
Bulduğumuz z = y + 6 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazalım:

y \cdot (z - x) = 40

y \cdot (y + 6 - 3) = 40

y \cdot (y + 3) = 40

Aralarında 3 fark olan ve çarpımları 40 eden sayılar 5 ve 8’dir (5 \cdot 8 = 40):

y = 5

5 bir asal sayı olduğundan koşulu sağlar.

Şimdi z değerini hesaplayalım:

z = y + 6 = 5 + 6 = 11

11 de bir asal sayıdır ve x=3, y=5, z=11 sayıları birbirinden farklı asal sayılardır.

Adım 4 — Toplamı Hesaplama

x + y + z = 3 + 5 + 11 = 19

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 19
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

• Asal Çarpan: Bir bileşik sayıyı tam bölen asal sayılardır. Bu soruda 18’in asal bölenlerinin \{2, 3\} ve 40’ın asal bölenlerinin \{2, 5\} olması çözüm kümesini daraltarak sonuca hızlıca ulaşmamızı sağlamıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

• Hatalı Yaklaşım: Denklemleri taraf tarafa çarpmaya veya bölmeye çalışarak harfleri birbirine karıştırmak.
• Doğru Yaklaşım: Çarpanlardan birinin asal sayı olduğunu fark edip, eşitliğin sağındaki sayının asal bölenleri üzerinden doğrudan değer analizi yapmak.

Bu tür asal sayı sorularında çarpanlara ayırma mantığını pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmek ister misin?