- x , y ve z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere
A = x^3 \cdot y^1 \cdot z^2
şeklinde yazılabilen en küçük A sayısı kaçtır?
A) 360
B) 600
C) 720
D) 1000 - Görseldeki topların üzerine bazı doğal sayılar yazılmıştır.
45, 54, 75, 90
Bu sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı diğerlerinden daha fazladır?
A) 45
B) 54
C) 75
D) 90 - A sayısının asal çarpanlar algoritması aşağıda verilmiştir.
A | 2
B | 2
C | 3
D | 5
E | 5
1
Buna göre, A - C + E işleminin sonucu kaçtır?
Çarpanlar ve Katlar: Asal Çarpanlara Ayırma ve Algoritma Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir doğal sayının asal çarpanlar biçiminde değerini en küçük yapmak için en büyük üsse en küçük asal taban atanır; bölen algoritmasında ise aşağıdan yukarıya doğru her basamak bölenle çarpılarak bilinmeyen sayılar bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Soru 8: A = x^3 \cdot y^1 \cdot z^2 İfadesinin En Küçük Değeri
x, y ve z birbirinden farklı asal sayılar olduğundan, A değerini en küçük yapmak için en küçük asal sayılar (2, 3, 5) kullanılır. Çarpımı minimize etmek adına en büyük üsse en küçük asal sayı taban olarak verilmelidir:
- Üssü 3 olan taban en küçük asal sayı olmalıdır: x = 2
- Üssü 2 olan taban bir sonraki asal sayı olmalıdır: z = 3
- Üssü 1 olan taban geriye kalan en büyük asal sayı olmalıdır: y = 5
A = 2^3 \cdot 5^1 \cdot 3^2 = 8 \cdot 5 \cdot 9 = 360
8. Soru Cevabı: A) 360
Soru 9: Asal Çarpan Sayısının Karşılaştırılması
Verilen sayıların asal çarpanları belirlenir:
- 45: 3^2 \cdot 5 \implies Asal çarpanları \{3, 5\} (2 adet)
- 54: 2 \cdot 3^3 \implies Asal çarpanları \{2, 3\} (2 adet)
- 75: 3 \cdot 5^2 \implies Asal çarpanları \{3, 5\} (2 adet)
- 90: 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \implies Asal çarpanları \{2, 3, 5\} (3 adet)
90 sayısının asal çarpan sayısı (3 adet) diğer sayılardan (2 adet) daha fazladır.
9. Soru Cevabı: D) 90
Soru 10: Çarpan Algoritmasından A - C + E Değerini Bulma
Bölen listesinde aşağıdan yukarıya doğru çarparak harflerin değerleri hesaplanır:
- E = 1 \cdot 5 = 5
- D = E \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25
- C = D \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75
- B = C \cdot 2 = 75 \cdot 2 = 150
- A = B \cdot 2 = 150 \cdot 2 = 300
İstenen işlem:
A - C + E = 300 - 75 + 5 = 230
10. Soru Cevabı: A) 230
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Üslü asal çarpan çarpımlarında sayıyı minimum yapmak için en büyük üsse mutlaka en küçük asal sayı (2) verilmelidir; çarpan algoritmasında ise en alttaki 1 sayısından başlayarak her satır sağdaki asal bölenle çarpılarak yukarı çıkılır.