x, y birer pozitif tam sayı olmak üzere x + \frac{10}{y} = 9 olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- x, y pozitif tam sayılardır.
- Denklemde x + \frac{10}{y} = 9 olduğundan, \frac{10}{y} tam sayı olmalıdır.
- 10’un pozitif tam bölenleri y için olası değerlerdir.
- Bulunan her y için x = 9 - \frac{10}{y} bulunur.
- x pozitif tam sayı ise, bu x değerleri toplanır.
İçindekiler
Denklem Analizi ve Çözümü
Verilen denklem:
x, y pozitif tam sayı olduğuna göre, \frac{10}{y} ifadesi tam sayı olmalıdır.
10’un pozitif tam bölenleri:
Bu değerler y için mümkün değerlerdir.
Her y için x değerini hesaplayalım:
- y=1 → x = 9 - \frac{10}{1} = 9 - 10 = -1 (pozitif değil, geçersiz)
- y=2 → x = 9 - \frac{10}{2} = 9 - 5 = 4 (pozitif)
- y=5 → x = 9 - \frac{10}{5} = 9 - 2 = 7 (pozitif)
- y=10 → x = 9 - \frac{10}{10} = 9 - 1 = 8 (pozitif)
Yalnızca pozitif tam x değerleri geçerli: 4, 7, 8
Pro Tip: Pozitif tam sayıların bölenleri listesini dikkate alarak denklemlerdeki kesirli ifadelerin tam sayı olma koşulunu kolayca bulabilirsiniz.
x’in Alabileceği Değerlerin Toplamı
Geçerli x değerlerinin toplamı:
Cevap şıkkı: C) 19
Özet Tablo
| y Değeri | \frac{10}{y} | x = 9 - \frac{10}{y} | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | -1 | Hayır |
| 2 | 5 | 4 | Evet |
| 5 | 2 | 7 | Evet |
| 10 | 1 | 8 | Evet |
Toplam: 19
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sadece 10’un tam bölenleri y için geçerli?
Çünkü \frac{10}{y} ifadesi tam sayı olmak zorunda, dolayısıyla y, 10’u tam bölmelidir. Bu koşulu sağlamayan y değerleri denklemde geçerli olmaz.
2. Negatif veya sıfır değerler neden göz ardı edildi?
Soruda x, y pozitif tam sayılar olarak belirtilmiştir. Bu yüzden sıfır ve negatif değerler geçerli değildir.
3. Eğer x, y doğal sayı olsa (sıfır dahil) sonuç değişir miydi?
Evet, y=10 için x=8 gibi pozitif tam sayı değerleri hala geçerli olurdu; ancak y=0 olabilir mi diye sorgulanırdı, bu durum tanımsızlığa yol açar. Ancak soru x,y pozitif tam sayı diyor, yani sıfır dahil değil.
Sonraki Adımlar
Bu tür problemler için pozitif tam sayı ve bölen analizi daha karmaşık denklemlerde nasıl uygulanır görmek ister misiniz? Ya da benzer tarzda bölünebilme şartları içeren denklemler çözümüyle ilgili örnek ve yöntemlere bakmak ister misiniz?
Soru Tekrarı
x, y birer pozitif tam sayı olmak üzere, x + \frac{10}{y} = 9 olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Denklemde x ve y arasındaki ilişkiyi çözmek için x = 9 - \tfrac{10}{y} formülü kullanılır.
- y pozitif tam sayı olduğundan y\mid 10 koşulu geçerlidir.
- x>0 olması, yalnızca belirli y değerlerini ve dolayısıyla x değerlerini mümkün kılar.
Denklemden x = 9 - \tfrac{10}{y} bulunur. y\in\{2,5,10\} için x\in\{4,7,8\} elde edilir ve bu değerlerin toplamı 19 yapar.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Denklemden $x$’i yalnız bırakmak içinx = 9 - \frac{10}{y}.
- y pozitif tam sayı ve \frac{10}{y} tam sayı olmalı → y\mid10
⇒ y\in\{1,2,5,10\}. - Her bir y için $x$’i hesaplayıp x>0 şartını kontrol et:
- y=1\Rightarrow x=9-10=-1 (geçersiz)
- y=2\Rightarrow x=9-5=4
- y=5\Rightarrow x=9-2=7
- y=10\Rightarrow x=9-1=8
- Geçerli x değerleri: \{4,7,8\}
Karşılaştırmalı Tablo
| y değeri | \tfrac{10}{y} | x=9-\tfrac{10}{y} | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | -1 | Hayır |
| 2 | 5 | 4 | Evet |
| 5 | 2 | 7 | Evet |
| 10 | 1 | 8 | Evet |
Özet Tablosu
| Geçerli x Değerleri | Toplam |
|---|---|
| 4, 7, 8 | 19 |
SSS
S1: x+\tfrac{10}{y}=9 denkleminde neden y\mid10 koşulu aranır?
C1: \tfrac{10}{y} ifadesinin tam sayı olabilmesi için $y$’nin 10’un pozitif böleni olması gerekir.
S2: x>0 şartı çözümü nasıl etkiler?
C2: y=1 seçildiğinde x=-1 olur ve pozitif tam sayı şartını ihlal eder; bu durumda y=1 dışlanır.
S3: Benzer bölünebilme sorularında izlenecek genel adımlar nelerdir?
C3: Bilinmeyeni izole et, bölen şartını belirle, tüm olası değerleri dene ve geçerliliği kontrol et.
Bu tür bölünebilme problemlerini daha fazla örnekle pekiştirmek ister misiniz?
@Elveda1