x, y birer pozitif tam sayı olmak üzere,
x + \frac{10}{y} = 9
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
x + \frac{10}{y} = 9 Eşitliğini Sağlayan x Pozitif Tam Sayı Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- x, y \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar kümesi: \{1, 2, 3, \dots\})
- Bir bölme işleminin sonucunun tam sayı çıkması için paydanın (y), payın (10) pozitif bir tam böleni olması gerekir.
- Denklem düzenlemesi: x = 9 - \frac{10}{y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değişkenini Yalnız Bırakma ve y’nin Bölenlerini Belirleme
Verilen denklemde x’i yalnız bırakalım:
x = 9 - \frac{10}{y}
x bir tam sayı olduğuna göre, \frac{10}{y} ifadesi de bir tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla y, 10 sayısının pozitif tam bölenlerinden biri olmalıdır:
\text{Bölenler}(10) = \{1, 2, 5, 10\}
Adım 2 — y’nin Her Değeri İçin x’i Hesaplama ve Pozitiflik Şartını Kontrol Etme
x’in pozitif tam sayı (x > 0) olması şartını her bölen için inceleyelim:
-
y = 1 için:
x = 9 - \frac{10}{1} = 9 - 10 = -1-1 sayısı pozitif bir tam sayı değildir (-1 \notin \mathbb{Z}^+), bu nedenle y = 1 değeri alınamaz.
-
y = 2 için:
x = 9 - \frac{10}{2} = 9 - 5 = 44 sayısı pozitif bir tam sayıdır (4 \in \mathbb{Z}^+), geçerlidir.
-
y = 5 için:
x = 9 - \frac{10}{5} = 9 - 2 = 77 sayısı pozitif bir tam sayıdır (7 \in \mathbb{Z}^+), geçerlidir.
-
y = 10 için:
x = 9 - \frac{10}{10} = 9 - 1 = 88 sayısı pozitif bir tam sayıdır (8 \in \mathbb{Z}^+), geçerlidir.
Adım 3 — x’in Alabileceği Değerleri Toplama
x’in alabileceği geçerli pozitif tam sayı değerleri 4, 7 ve 8’dir.
\text{Toplam} = 4 + 7 + 8 = 19
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 19
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z}^+)
- Tanım: 1’den başlayıp sonsuza kadar giden sayma sayılarıdır (\{1, 2, 3, \dots\}).
- Bu problemde: y=1 verildiğinde x = -1 çıktığı için bu durum çözüm kümesine dahil edilmemiştir.
2. Tam Bölen Mantığı
- Tanım: Bir tamsayıyı kalansız bölen sayılardır.
- Bu problemde: 10’un pozitif bölenleri (1, 2, 5, 10) incelenerek y’nin alabileceği tüm aday değerler belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Pozitiflik Şartını Gözden Kaçırmak
- Yanlış: y = 1 değerini de alıp x = -1 değerini toplama dahil etmek (-1 + 4 + 7 + 8 = 18).
- Doğru: Sorunun başında verilen “x pozitif tam sayı” koşulunu mutlaka kontrol etmek.
- Neden yanlış: -1 bir negatif tam sayıdır, pozitif tam sayılar kümesinde yer almaz.
Bu tarz temel kavram sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek soru daha çözmemi ister misin?