X, y birer gerçek sayı ve -1 < y < 0 < x olduğuna göre, ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

YKS TYT
1

image
image720×960 20.3 KB

2

2012 LYS B Sorusu: x, y Gerçek Sayıları ile İlgili İfadeler

Önemli Noktalar

  • x, y birer gerçek sayı
  • -1 < y < 0 < x koşulu veriliyor
  • İfadelerin her zaman doğru olup olmadığı incelenmeli
  • İfadeler:
    1. x + y > 0
    2. x - y > 1
    3. x · (y + 1) > 0

x ve y’nin tanımlı aralığı ve verilen ifadelerin doğruluğu değerlendirildiğinde, her zaman doğru olan ifadeler 1 ve 3’tür.

İçindekiler

  1. Verilen Bilgilerin Analizi
  2. İfade 1: x + y > 0 İncelemesi
  3. İfade 2: x - y > 1 İncelemesi
  4. İfade 3: x · (y + 1) > 0 İncelemesi
  5. Sonuç ve Cevap

1. Verilen Bilgilerin Analizi

  • x ve y gerçek sayılar.
  • y için: -1 < y < 0
  • x için: 0 < x

Bu değer aralıkları üzerinden ifadelerin doğruluğu adım adım incelenmeli.

2. İfade 1: x + y > 0 İncelemesi

  • x pozitif ve sıfırdan büyük.
  • y negatif ama -1 ile 0 arasında, yani y mutlak değerce 1’den küçük negatif sayı.

Örnek:

  • x = 0.1 (sıfıra yakın pozitif)
  • y = -0.9 (sıfıra yakın negatif değil, -1’e yakın)

Toplam: 0.1 + (-0.9) = -0.8 < 0

Sonuç: 1. ifade her zaman doğru değildir.

3. İfade 2: x - y > 1 İncelemesi

  • x > 0
  • y < 0 → -y > 0, yani -y pozitif

Fakat bu ifade kesinlikle 1’den büyük müdür? Kontrol edelim:

Örnek:

  • x = 0.6
  • y = -0.4

x - y = 0.6 - (-0.4) = 1.0
Soru: “>” olduğuna göre burada 1 değildir, eşitlik yeterli değil.

Başka örnek:

  • x=0.51
  • y=-0.49

Toplam: 0.51 - (-0.49) = 1.0

Bu durumlarda ifade >1 olmaz, sadece ≥1.

Sonuç: 2. ifade her zaman doğru değildir.

4. İfade 3: x \cdot (y + 1) > 0 İncelemesi

  • y aralığı: -1 < y < 0 → 0 < y+1 < 1

  • x > 0

  • Pozitif sayı (x) ile pozitif sayı (y+1) çarpımı her zaman pozitiftir.

Sonuç: 3. ifade her zaman doğrudur.

5. Sonuç ve Cevap

İfade Her Zaman Doğru mu?
I. (x + y > 0) Hayır
II. (x - y > 1) Hayır
III. (x·(y+1) > 0) Evet

Doğru yanıt yalnızca III ifadesidir.

Cevap: B) Yalnız III

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer sorularla “eşitsizlikte güçlendirme teknikleri” veya “sayısal analiz” üzerine daha fazla örnek çözümü yapabiliriz. Yardım ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

x, y birer gerçek sayı ve -1 < y < 0 < x olduğuna göre, ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

• x > 0, -1 < y < 0 aralığı.
• İfadeler I ve II değişkendir, yalnızca III kesindir.
• Çünkü y+1>0 ve x>0 olduğundan x\,(y+1)>0 daima sağlanır.

İçindekiler

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Çözüm

Verilen:

  • x>0
  • -1<y<0

I. x+y>0

  • Gerekli koşul: x>-y=|y|.
  • Örneğin x=0{,}5, y=-0{,}9\;\Rightarrow\;x+y=-0{,}4<0.
  • Dolayısıyla I her zaman doğru değildir.

II. x - y>1

  • x-y=x+|y| ifadesi, x,|y| her ikisi de sıfıra yakın küçük seçilirse toplam $1$’den küçük olabilir.
  • Örnek: x=0{,}3, y=-0{,}3\;\Rightarrow\;x-y=0{,}6<1.
  • Dolayısıyla II de her zaman doğru değildir.

III. x\,(y+1)>0

  • Çünkü y+1>0 (y>-1) ve x>0.
  • Pozitif \times pozitif her zaman pozitiftir.
  • III her zaman doğrudur.

Sonuç: Yalnız III → B şıkkı.

Karşılaştırmalı Tablo

İfade Her Zaman Doğru mu?
I. x+y>0 Hayır
II. x-y>1 Hayır
III. x\,(y+1)>0 Evet

Özet Tablosu

Özellik Değer / Açıklama
x aralığı 0<x<\infty
y aralığı -1<y<0
I. Değişken (her zaman yanlış olabilir)
II. Değişken (her zaman yanlış olabilir)
III. Her zaman doğru
Doğru seçenek B) Yalnız III

SSS

  1. S: Niçin y+1>0 kabul ettik?
    C: Çünkü soruda y>-1 veriliyor; bu da y+1>0 demektir.

  2. S: x+y>0 neden her zaman sağlanmaz?
    C: x küçük, |y| nispeten büyük seçildiğinde toplam negatif olabilir.

  3. S: x-y ifadesinin alt sınırı nedir?
    C: Sıfıra yakın pozitif değerlerden başlayıp sonsuza kadar gider; kesin bir alt sınır 1 değildir.

  4. S: Başka örneklerle nasıl test edebilirim?
    C: Farklı x,y çiftleri alarak I–III ifadelerini kontrol edebilirsiniz.

Anlamayı pekiştirmek için benzer TYT sınav sorularının çözümlerini ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli