X , y , a ve c birer gerçel sayı olmak üzere

Question Answer
1

x , y , a ve c birer gerçel sayı olmak üzere
|x| = |y|
|x - y| = c
a dot c < 0
bilgileri veriliyor.
Buna göre
I.

4xy + c^2 = 0

II. axy < 0
III. x + y > a
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III

x , y , a ve c birer gerçel sayı olmak üzere a dot c 0 bilgileri veriliyor.
x , y , a ve c birer gerçel sayı olmak üzere a dot c 0 bilgileri veriliyor.510×352 50.6 KB

2

Mutlak Değer ve Gerçel Sayılarda İşaret Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Mutlak değer tanımı gereği daima |x - y| \ge 0 olur. Çarpımları negatif olan iki sayıdan biri pozitif ise diğeri mutlaka negatiftir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — c ve a Sayılarının İşaretlerinin Belirlenmesi
|x - y| = c eşitliğinde mutlak değer negatif olamayacağından c \ge 0 olmalıdır. a \cdot c < 0 verildiğinden c \neq 0 olmak zorundadır. Buradan:

c > 0 \quad \text{ve} \quad a < 0

elde edilir.

Adım 2 — x ve y Arasındaki İlişkinin Bulunması
|x| = |y| eşitliği gereği y = x veya y = -x olabilir.

  • Eğer y = x olsaydı, c = |x - x| = 0 olurdu. Fakat c > 0 olduğunu bildiğimizden bu durum imkânsızdır.
  • Dolayısıyla y = -x ve x \neq 0 olmalıdır. Buradan c = |x - (-x)| = |2x| = 2|x| bulunur.

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. 4xy + c^2 = 0:
    y = -x olduğundan 4xy = 4x(-x) = -4x^2 olur.
    c = 2|x| olduğundan c^2 = (2|x|)^2 = 4x^2 olur.

    4xy + c^2 = -4x^2 + 4x^2 = 0 \quad \text{(Doğru)}

  • II. axy < 0:
    x \neq 0 olduğundan xy = x(-x) = -x^2 < 0 (negatif) olur.
    a < 0 (negatif) olduğundan iki negatif sayının çarpımı pozitif olmalıdır:

    axy = a(-x^2) > 0 \quad \text{(Yanlış)}

  • III. x + y > a:
    y = -x olduğundan x + y = 0 olur.
    a < 0 olduğu için 0 > a, yani x + y > a daima sağlanır. \quad \text{(Doğru)}

:white_check_mark: CEVAP: C) I ve III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Mutlak değerli bir ifadenin sonucunun sıfırdan farklı bir çarpım koşulunda (a \cdot c < 0) yer alması, mutlak değerin 0 olamayacağını (c > 0) ve dolayısıyla içindeki terimlerin birbirine eşit olamayacağını (x \neq y) doğrudan gösterir.