\tan x + \tan y = 10 ve ot x + ot y = 12 olduğuna göre, \tan(x + y) nin değeri kaçtır?
A) 120 B) 96 C) 72 D) 60 E) 36
tan x + tan y = 10 ve cot x + cot y = 12 olduğuna göre tan(x + y) değeri
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Toplam Formülü: \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
- Trigonometrik Özdeşlik: \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri Düzenleme
Soruda bize \tan x + \tan y = 10 olarak verilmiş. Bu, toplam formülümüzün pay kısmını oluşturur. Ayrıca \cot x + \cot y = 12 bilgisi verilmiş. Bu ikinci bilgiyi \tan cinsinden yazalım:
\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = 12
Adım 2 — Payda Eşitleme
\cot değerleri üzerinden elde ettiğimiz denklemde payda eşitleyelim:
\frac{\tan y + \tan x}{\tan x \cdot \tan y} = 12
Adım 3 — Tan x · Tan y Değerini Bulma
Birinci adımdan \tan x + \tan y = 10 olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine koyalım:
\frac{10}{\tan x \cdot \tan y} = 12
Buradan içler dışlar çarpımı yaparak \tan x \cdot \tan y çarpımını yalnız bırakalım:
\tan x \cdot \tan y = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
Adım 4 — Tan(x + y) Formülünü Uygulama
Artık ihtiyacımız olan tüm bileşenlere sahibiz. Formülde yerlerine yerleştirelim:
\tan(x + y) = \frac{10}{1 - \frac{5}{6}}
Adım 5 — Sonucu Hesaplama
Paydadaki işlemi yapalım: 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}
\tan(x + y) = \frac{10}{\frac{1}{6}} = 10 \cdot 6 = 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 60 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tanjant Toplam Formülü
- Tanım: İki açının toplamının tanjantını, bu açıların kendi tanjantları cinsinden ifade eden formüldür.
- Bu problemde: Pay kısmında verilen toplamı (10), payda kısmında ise bulduğumuz çarpımı (\frac{5}{6}) kullanarak sonuca ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Cot ve Tan İlişkisini Karıştırmak
- Yanlış: \cot x + \cot y = 12 ise \tan x + \tan y = \frac{1}{12} olduğunu sanmak.
- Doğru: Sadece tekil terimler (1/\tan x) birbirinin tersidir; toplamların tersi doğrudan birbirine eşit değildir.
- Neden Yanlış: Payda eşitlemeden işlem yapmak, çarpım değerine ulaşmanızı engeller.
Bu tür trigonometri sorularında toplam ve çarpım arasındaki ilişkiyi kurmak için her zaman tüm ifadeleri aynı cinse (genellikle tanjant) çevirmek işinizi kolaylaştırır. Benzer bir trigonometri sorusu daha çözerek bu formülü pekiştirmek ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
tan x + tan y = 10 ve cot x + cot y = 12 ise tan(x + y)
FORMÜL: \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpımı Bulma
\cot x + \cot y = \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = \frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = 12
\frac{10}{\tan x \cdot \tan y} = 12 \implies \tan x \cdot \tan y = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
Adım 2 — Formülde Yerine Koyma
\tan(x + y) = \frac{10}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{10}{\frac{1}{6}} = 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 60 (D Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu çözüm yolu senin için yeterince kısa mı, yoksa formülün mantığını başka bir örnekle pekiştirmek ister misin?
pek anlamadım..
\tan x + \tan y = 10 ve \cot x + \cot y = 12 ise \tan(x + y) Değeri
Anlamadığın noktaları daha basit bir mantıkla, adım adım netleştirelim. Bu soruda iki anahtar bilgiyi birleştiriyoruz.
KULLANILAN FORMÜL:
\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - (\tan x \cdot \tan y)}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Formülün Üst Kısmı (Pay)
Soruda zaten bize \tan x + \tan y = 10 olarak verilmiş. Yani formülün üst tarafı hazır: 10.
Adım 2 — Formülün Alt Kısmı İçin Çarpımı Bulma
Alt taraf için bize \tan x \cdot \tan y (çarpım) lazım. Bunu \cot bilgisinden çekiyoruz:
- \cot x + \cot y = 12
- Ters çevirip payda eşitlediğimizde şu kural ortaya çıkar: \frac{\text{Toplam}}{\text{Çarpım}} = 12
- Yani: \frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = 12
- \frac{10}{\tan x \cdot \tan y} = 12 ise, yer değiştirirsek: \tan x \cdot \tan y = \frac{10}{12} (Sadeleşirse \frac{5}{6})
Adım 3 — Hepsini Birleştirme
Bulduğumuz bu iki parçayı ana formüle yerleştiriyoruz:
\tan(x + y) = \frac{10}{1 - \frac{5}{6}}
Adım 4 — Son İşlem
Alt tarafta 1’den \frac{5}{6} çıkarsa \frac{1}{6} kalır.
\tan(x + y) = \frac{10}{\frac{1}{6}} = 10 \cdot 6 = 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 60 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET MANTIK:
Bu sorularda verilen \cot toplamını, aslında \tan toplamının çarpıma bölünmüş hali olarak düşünebilirsin. Yani \text{Çarpım} = \frac{\tan \text{ Toplamı}}{\cot \text{ Toplamı}} kısa yolunu kullanabilirsin (10/12).
Şimdi işlemin hangi kısmında (payda eşitleme, çarpma veya formül) takıldığını belirtebilir misin? O kısmı daha da açabilirim.