\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} dot \frac{1}{x - 4}
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Çarpanlara Ayırma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için ikinci dereceden üç terimliler çarpanlarına ayrılır ve iki kare farkı özdeşliğinden (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)) yararlanılarak ortak çarpanlar sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Pay ve Paydadaki İfadeleri Çarpanlarına Ayırma
İlk kesrin payındaki x^2 - x - 12 üç terimlisini çarpımları -12, toplamları -1 olan sayılarla (-4 ve +3) çarpanlarına ayıralım. Paydadaki x^2 - 9 ifadesini ise iki kare farkı olarak yazalım:
x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)
Adım 2 — İfadeyi Birleştirme ve Ortak Çarpanları Sadeleştirme
Elde ettiğimiz çarpanları verilen çarpma işleminde yerine yazıp ortak olan (x - 4) ve (x + 3) terimlerini sadeleştirelim (x \neq \pm 3 ve x \neq 4 için):
\frac{(x - 4)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 3}
CEVAP: \dfrac{1}{x - 3}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken paydadaki köklerin (x = 3, -3, 4) ifadeyi tanımsız yaptığı unutulmamalıdır. Sadeleştirme işlemi sadece ortak çarpanlar çarpım durumundayken geçerlidir.