x^{\log_{3} x - 1} < 9 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 9)
B) (1, 10)
C) (\frac{1}{3}, 9)
D) (0, 8)
E) (1, 9)
Logaritmalı Eşitsizliğin Çözüm Kümesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)
- a > 1 iken u < v \iff \log_a(u) < \log_a(v) (Eşitsizlik yön değiştirmez)
- Logaritmanın tanım kümesi: \log_a(x) \implies x > 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım Kümesini Belirleme
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için x değeri pozitif olmalıdır:
x > 0
Adım 2 — Her İki Tarafın 3 Tabanında Logaritmasını Alma
Eşitsizliğin her iki tarafına 3 > 1 olduğu için yön değiştirmeden \log_3 tabanını uygulayalım:
\log_3\left(x^{\log_3 x - 1}\right) < \log_3(9)
Kuvvet kuralını uygulayarak üssü başa katsayı olarak indirelim:
(\log_3 x - 1) \cdot \log_3 x < \log_3(3^2)
(\log_3 x - 1) \cdot \log_3 x < 2
Adım 3 — Değişken Değiştirme ve Eşitsizliği Çözme
\log_3 x = t dönüşümü yapalım:
t(t - 1) < 2
t^2 - t - 2 < 0
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
(t - 2)(t + 1) < 0
Kökler t = -1 ve t = 2’dir. Başkatsayı pozitif (+) olduğundan, ifadenin sıfırdan küçük olduğu aralık kökler arasıdır:
-1 < t < 2
Adım 4 — x Değişkenine Geri Dönme
t yerine tekrar \log_3 x yazalım:
-1 < \log_3 x < 2
Taban 3 > 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmeden üslü biçime çevrilir:
3^{-1} < x < 3^2
\frac{1}{3} < x < 9
Bulunan bu aralık x > 0 şartını da tam olarak sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi:
\left(\frac{1}{3}, 9\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) \left(\frac{1}{3}, 9\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslü İfadede Logaritma: Üste logaritma varsa, her iki tarafın aynı tabanda logaritması alınarak üs katsayı haline getirilir.
- Taban Şartı: Eşitsizliklerde logaritma tabanı 1’den büyükse eşitsizlik yönü korunur; 0 ile 1 arasında ise eşitsizlik yön değiştirir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitsizliğin tabanı 0 < x < 1 olduğunda üslerin yön değiştirebileceği unutularak doğrudan logaritmasız çözüm yapmaya çalışmak veya tanım aralığını (x > 0) göz ardı etmek.- Doğru Yaklaşım: Her iki tarafın bilinen sabit tabanda (3 tabanında) logaritmasını alıp ikinci dereceden bir eşitsizliğe indirgeyerek adım adım çözmek.
Benzer bir logaritmik eşitsizlik sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?