x ve y tam sayı olmak üzere
x \cdot y = 3x + 2y + 14 eşitliği veriliyor.
Buna göre bu eşitliği sağlayan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
İki Değişkenli Tam Sayı Denklemleri ve Çarpanlara Ayırma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki bilinmeyenli tam sayı denklemlerinde değişkenler gruplandırılarak çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır veya değişkenlerden biri yalnız bırakılarak bir tamsayının tam bölen sayısı (2 \cdot (a+1)(b+1)\dots) kuralından faydalanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenleri Gruplandırma ve Çarpanlara Ayırma
Verilen x \cdot y = 3x + 2y + 14 eşitliğinde terimleri bir tarafa toplayıp y parantezine alalım veya eşitliği çarpanlarına ayıralım:
x \cdot y - 2y = 3x + 14
y(x - 2) = 3x + 14
Her iki tarafı x - 2 ifadesine bölerek y’yi x cinsinden yazalım (x \neq 2):
y = \frac{3x + 14}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 20}{x - 2} = 3 + \frac{20}{x - 2}
(Alternatif olarak: (x - 2)(y - 3) = 20 şeklinde iki çarpanın çarpımı elde edilir.)
Adım 2 — Tam Sayı Bölenlerini Belirleme
y bir tam sayı olduğuna göre, \frac{20}{x - 2} kesri de bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla (x - 2) ifadesi 20 sayısının bir tam sayı böleni olmak zorundadır.
20 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
20 = 2^2 \cdot 5^1
20’nin pozitif bölen sayısı (PBS):
\text{PBS} = (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6
Tam sayı bölen sayısı (TBS), pozitif ve negatif bölenlerin toplamıdır:
\text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} = 2 \cdot 6 = 12
(x - 2) değeri \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 olmak üzere 12 farklı değer alabilir. Her farklı (x - 2) değeri için birbirinden farklı bir x tam sayısı (x = (x-2) + 2) ve buna karşılık gelen bir y tam sayısı oluşur.
CEVAP: E) 12 (x değişkeni için 12 farklı tam sayı değeri vardır)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda x ve y’nin yalnızca “pozitif tam sayı” değil, genel olarak “tam sayı” belirtildiğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle negatif bölenler de hesaba katılarak pozitif bölen sayısı mutlaka 2 ile çarpılmalıdır.
@Akademik_Rehber anlamadım mala anlatır gibi sana zahmet anlat
En baştan, adım adım ve en sade haliyle anlatalım:
1. Verilen denklemi kutu çarpımı haline getirelim:
Eşitliğimiz şu:
x \cdot y = 3x + 2y + 14
Tüm harfleri sol tarafa toplayalım:
x \cdot y - 3x - 2y = 14
Şimdi amacımız burayı iki parantezin çarpımı yapmak:
(x - 2) \cdot (y - 3)
Bu parantezleri açarsan ne gelir?
x \cdot y - 3x - 2y + 6
Fazladan bir +6 geldi. O yüzden her iki tarafa da 6 ekleyelim:
(x - 2) \cdot (y - 3) = 14 + 6
(x - 2) \cdot (y - 3) = 20
2. Olay aslında sadece şu:
Hangi iki tam sayıyı çarparsan 20 eder?
(x - 2) sayısı, 20’yi tam bölen sayılar olmak zorundadır.
20’yi bölen sayılar:
- Pozitifler: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (toplam 6 tane)
- Negatifler: -1, -2, -4, -5, -10, -20 (toplam 6 tane)
Toplamda 6 + 6 = 12 farklı sayı 20’yi böler.
3. x değerlerini bulma:
(x - 2) bu 12 sayıdan her birine eşit olabilir:
- x - 2 = 1 \implies x = 3
- x - 2 = 2 \implies x = 4
- x - 2 = -1 \implies x = 1
- … bu şekilde her bölen için farklı bir x çıkar.
12 tane bölen olduğu için x de tam 12 farklı değer alır.
Cevap: E (12)
@Akademik_Rehber dahaa matematiği 0 birine anlatır gibi
Hiç formül, kural veya denklem bilmene gerek yok. İlkokul mantığıyla adım adım gidelim:
1. Basamak: y’yi yalnız bırakalım
Elimizdeki soru şu:
x \cdot y = 3x + 2y + 14
İçinde y olanları bir tarafa toplayalım (2y’yi sol tarafa eksi olarak at):
x \cdot y - 2y = 3x + 14
Sol tarafı y parantezine alalım (ikisinde de y var):
y \cdot (x - 2) = 3x + 14
Şimdi iki tarafı da (x - 2)'ye bölelim ki y tek başına kalsın:
y = \frac{3x + 14}{x - 2}
2. Basamak: Bakkal bölmesi yapalım
Yukarıdaki kesri daha kolay görmek için 3x + 14’ü x - 2’ye bölelim:
- 3x’in içinde x, 3 kere var.
- 3 ile (x - 2)'yi çarparsan 3x - 6 yapar.
- 14’ten -6’yı çıkarırsan kalan 20 olur.
Yani bu kesir aslında şudur:
y = 3 + \frac{20}{x - 2}
3. Basamak: Asıl can alıcı nokta
Soruda bize diyor ki: y bir tam sayı olsun (yani küsuratlı, virgüllü çıkmasın).
y’nin tam çıkması için:
\frac{20}{x - 2}
kısmının tam bölünmesi gerekir. Yani alttaki (x - 2) sayısı, 20’yi tam bölen bir sayı olmalıdır.
Peki 20’yi hangi sayılar tam böler? Sayalım:
Pozitif olanlar:
- 20 \div 1 = 20 (olur)
- 20 \div 2 = 10 (olur)
- 20 \div 4 = 5 (olur)
- 20 \div 5 = 4 (olur)
- 20 \div 10 = 2 (olur)
- 20 \div 20 = 1 (olur)
Burada 6 tane sayı var.
Negatif olanlar:
(Eksi sayılar da tam sayıdır, onları da alıyoruz)
- -1, -2, -4, -5, -10, -20
Burada da 6 tane sayı var.
Toplamda 20’yi bölen 12 tane sayı vardır.
4. Basamak: Sonuç
(x - 2) ifadesi bu 12 sayıdan herhangi biri olabilir.
Örneğin:
- x - 2 = 1 ise \rightarrow x = 3
- x - 2 = 2 ise \rightarrow x = 4
- x - 2 = -1 ise \rightarrow x = 1
Gördüğün gibi her bir bölen için farklı bir x sayısı bulursun.
12 tane bölen olduğu için, x de 12 farklı değer alır.
Doğru Seçenek: E) 12
@Akademik_Rehber hiç anlamadım 0
Tüm harfleri, cebiri, bölmeleri unut. Sadece elma hesabı ve çarpım tablosu ile bakalım.
Tek bir oyun var: “Çarpımları 20 yapan sayılar”
Soru bize gizli bir bulmaca vermiş. Bu bulmacanın sadeleşmiş hali sadece şu:
\text{BİRİNCİ KUTU} \times \text{İKİNCİ KUTU} = 20
İki sayıyı çarpacaksın ve sonuç 20 çıkacak. Başka hiçbir kural yok.
Hangi sayıları çarparsan 20 eder?
Parmakla sayalım:
Artı olanlar:
- 1 \times 20 = 20 \rightarrow Birinci kutu 1 olabilir
- 2 \times 10 = 20 \rightarrow Birinci kutu 2 olabilir
- 4 \times 5 = 20 \rightarrow Birinci kutu 4 olabilir
- 5 \times 4 = 20 \rightarrow Birinci kutu 5 olabilir
- 10 \times 2 = 20 \rightarrow Birinci kutu 10 olabilir
- 20 \times 1 = 20 \rightarrow Birinci kutu 20 olabilir
Burada 6 tane durum var.
Eksi olanlar:
(İki eksiyi çarparsan artı yapar, borç hesabı gibi düşün)
- (-1) \times (-20) = 20 \rightarrow Birinci kutu -1 olabilir
- (-2) \times (-10) = 20 \rightarrow Birinci kutu -2 olabilir
- (-4) \times (-5) = 20 \rightarrow Birinci kutu -4 olabilir
- (-5) \times (-4) = 20 \rightarrow Birinci kutu -5 olabilir
- (-10) \times (-2) = 20 \rightarrow Birinci kutu -10 olabilir
- (-20) \times (-1) = 20 \rightarrow Birinci kutu -20 olabilir
Burada da 6 tane durum var.
Sonuç
Birinci kutu toplam kaç farklı sayı olabildi?
6 + 6 = 12 \text{ tane}
İşte bu birinci kutunun içine x saklanmış. Kutu 12 farklı sayı olabiliyorsa, x de tam 12 farklı değer alır.
Cevap: E (12)
@Akademik_Rehber 20 nerden geldi
O 20 sayısının nereden geldiğini en net şekilde gösterelim:
Soruda verilen orijinal eşitlik şuydu:
x \cdot y = 3x + 2y + 14
Bütün harfleri sol tarafa (eşitliğin soluna) atalım:
x \cdot y - 3x - 2y = 14
Şimdi şu parantez açma işlemine bakalım:
Elimizde (x - 2) ve (y - 3) diye iki parantez olduğunu düşün. Bunları birbiriyle çarparsan:
- x ile y’yi çarp \rightarrow \mathbf{x \cdot y}
- x ile -3’ü çarp \rightarrow \mathbf{-3x}
- -2 ile y’yi çarp \rightarrow \mathbf{-2y}
- En sondaki sayıları çarp: (-2) \times (-3) = \mathbf{+6}
Hepsini yan yana yazarsan:
(x - 2) \cdot (y - 3) = x \cdot y - 3x - 2y + 6
İşte 20’nin geldiği yer:
Bizim elimizdeki ifadede (x \cdot y - 3x - 2y) kısmı zaten 14’e eşitti.
Yukarıdaki çarpımda fazladan bir +6 çıktı.
Terazinin dengesi bozulmasın diye eşitliğin iki tarafına da 6 ekliyoruz:
(x \cdot y - 3x - 2y) + 6 = 14 + 6
- Sol taraf parantezlerin çarpımı oldu: (x - 2) \cdot (y - 3)
- Sağ taraf ise: 14 + 6 = \mathbf{20} oldu.
Özetle: Sorudaki 14 sayısına, parantezleri kapatırken ortaya çıkan 6 sayısı eklendiği için sonuç 20 oldu.
@Akademik_Rehber paranteze nasıl aldın neden aldın
İki sorunu da tek tek, en çıplak mantığıyla anlatalım:
1. NEDEN paranteze aldık? (Amacımız neydi?)
Elimizdeki ifadeye bak:
x \cdot y - 3x - 2y = 14
Burada x ve y harfleri çorba gibi birbirine girmiş durumda. Sonsuz tane sayı uydurabilirsin; hangisinin tam sayı çıkacağını tahmin etmek imkansızdır.
Ama ifadeyi şöyle yaparsak:
\text{(1. Kutu)} \times \text{(2. Kutu)} = 20
İş bir anda ilkokul çarpım tablosuna döner. Çünkü çarpımları 20 yapan tam sayılar bellidir ve sınırlıdır (1 \times 20, 2 \times 10, 4 \times 5 gibi).
Yani paranteze almanın tek sebebi: Tahmin edilemez bir denklemi, ilkokul çarpım tablosuna çevirmektir.
2. NASIL paranteze aldık? (Sayılara nasıl karar verdik?)
Bu işin çok basit bir şablonu (hilesi) vardır. Adım adım izle:
Elimizde şu var:
x \cdot y - 3x - 2y
1. Adım: İki tane boş parantez aç ve başlarına x ile y yaz (çünkü çarpınca x \cdot y gelmesi lazım):
(x \quad\dots) \cdot (y \quad\dots)
2. Adım: Sorudaki -3x ifadesine bak.
- Soldaki x’i sağdaki neyle çarparsan -3x olur?
- Tabii ki -3 ile!
- O yüzden y’nin yanına -3 yaz:
(x \quad\dots) \cdot (y - 3)
3. Adım: Şimdi sorudaki -2y ifadesine bak.
- Sağdaki y’yi soldaki neyle çarparsan -2y olur?
- Tabii ki -2 ile!
- O yüzden x’in yanına -2 yaz:
(x - 2) \cdot (y - 3)
Parantezleri oluşturmak bu kadar kolaydır; sadece x ve y’nin önündeki sayılara bakarız.
Küçük bir pürüz: Fazlalık sayı
Şimdi bu bulduğumuz (x - 2) \cdot (y - 3) parantezlerini geri çarparsak:
- x \cdot y gelir (soruda var)
- -3x gelir (soruda var)
- -2y gelir (soruda var)
- Bir de en sondaki iki sayının çarpımı gelir: (-2) \times (-3) = \mathbf{+6}
Bu +6 soruda yoktu, parantez yapınca kendiliğinden doğdu.
Matematikte eşitliğin bir tarafına durduk yere +6 ekleyemezsin; eşitlik bozulur. Terazi dengede kalsın diye karşıdaki 14’e de 6 ekledik:
14 + 6 = \mathbf{20}
Böylece denklem tam olarak şuna dönüştü:
(x - 2) \cdot (y - 3) = 20