ÖRNEK n
X ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,
3x
- 4y = 48
eşitliği veriliyor.
Buna göre, 3y + 5x ifadesinin en n büyük dejeri kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
Sorunun Özeti
X ve Y pozitif tam sayılar olmak üzere,
3x + 4y = 48
eşitliği veriliyor. Buna göre,
$$3y + 5x$$ ifadesinin en büyük değeri nedir?
Çözüm Adımları
Adım 1 — Verilen denklemi inceleme
Elimizde:
3x + 4y = 48
Burada x, y pozitif tam sayılar.
Adım 2 — y’yi x cinsinden yazma
y’yi yalnız bırakalım:
4y = 48 - 3x \implies y = \frac{48 - 3x}{4}
y pozitif tam sayı olacak, yani \frac{48 - 3x}{4} tam pozitif bir sayı olmalı.
Adım 3 — 3y + 5x ifadesini x cinsinden yazma
Bunu ifade edelim:
3y + 5x = 3 \cdot \frac{48 - 3x}{4} + 5x = \frac{3(48 - 3x)}{4} + 5x = \frac{144 - 9x}{4} + 5x
Ortak payda kullanarak:
= \frac{144 - 9x + 20x}{4} = \frac{144 + 11x}{4}
Adım 4 — x için uygun değerleri bulma
- x pozitif tam sayı
- y = \frac{48 - 3x}{4} pozitif tam sayı olmalı, yani:
- Paydanın tam olması için 48 - 3x ifadesi 4’e tam bölünmeli.
- Aynı zamanda y > 0 olmalı, yani 48 - 3x > 0 \implies 3x < 48 \implies x < 16.
Adım 5 — Bölünebilme koşulunu kontrol etme
48 - 3x ifadesinin 4’e bölünebilmesi için,
48 - 3x \equiv 0 \pmod{4}
- 48 mod 4 = 0
- 3x mod 4 = ?
3 \equiv 3 \pmod{4}, o halde
3x \equiv 0 \pmod{4} olmalı çünkü 48 - 3x \equiv 0. Bu şu demek:
3x \equiv 0 \pmod{4}
3 sayısı mod 4’te ters olmayan sayıdır, ama 3 \times x mod 4 = 0 ise x mod 4 = 0 olmalı.
Yani x 4’ün katı olmalı.
Adım 6 — x için olası değerler
Pozitif tam ve 4’ün katı olarak:
x = 4, 8, 12 (Çünkü x < 16).
Adım 7 — Her bir x için y ve 3y + 5x’i hesaplama
-
x=4:
y = \frac{48 - 3 \cdot 4}{4} = \frac{48 - 12}{4} = \frac{36}{4} = 9
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 4}{4} = \frac{144 + 44}{4} = \frac{188}{4} = 47 -
x=8:
y = \frac{48 - 3 \cdot 8}{4} = \frac{48 - 24}{4} = \frac{24}{4} = 6
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 8}{4} = \frac{144 + 88}{4} = \frac{232}{4} = 58 -
x=12:
y = \frac{48 - 3 \cdot 12}{4} = \frac{48 - 36}{4} = \frac{12}{4} = 3
3y + 5x = \frac{144 + 11 \cdot 12}{4} = \frac{144 + 132}{4} = \frac{276}{4} = 69
Adım 8 — En büyük değeri seçme
En büyük değer 69.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 3y + 5x ifadesinin en büyük değeri 69’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
- Denklem çözümünde tam sayı kısıtları
- Modüler aritmetik ile bölünebilme kontrolü
- Lineer ifadelerin maksimum değerleri
Yaygın Hatalar:
- y için tam sayı koşulunu kontrol etmemek
- Pozitif tam sayı kısıtını unutarak tüm negatif veya sıfır değerleri denemek
- x değerlerini yanlış seçmek (mod koşulunu göz ardı etmek)
Başka bir örnek çözmemi ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
X ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 3x + 4y = 48 eşitliği veriliyor. Buna göre, 3y + 5x ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Diyafantine denklemler ve modüler aritmetik ile pozitif tam çözüm kümesini bulma; ardından hedef doğrusal ifadayı her çözüm için değerlendirme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemden pozitif tam çözüm kümesini bul
3x + 4y = 48
\text{mod }3\ \text{alalım}
4y \equiv 48 \pmod{3}
4 \equiv 1 \pmod{3}
y \equiv 0 \pmod{3}
y = 3k,\quad k\in\mathbb{Z}_{>0}
3x + 4(3k) = 48
3x + 12k = 48
x + 4k = 16
x = 16 - 4k
x>0,\ y>0
y=3k>0 \Rightarrow k\ge 1
x=16-4k>0 \Rightarrow 16-4k\ge 1
4k \le 15
k \le 3
k\in\{1,2,3\}
Buna göre pozitif tam çözümler:
Birinci çözüm: k=1
y=3\cdot 1
y=3
x=16-4\cdot 1
x=12
İkinci çözüm: k=2
y=3\cdot 2
y=6
x=16-4\cdot 2
x=8
Üçüncü çözüm: k=3
y=3\cdot 3
y=9
x=16-4\cdot 3
x=4
Adım 2 — Her çözüm için 3y+5x değerlerini hesapla
Birinci çözüm:
3y+5x
=3\cdot 3 + 5\cdot 12
=9 + 60
=69
İkinci çözüm:
3y+5x
=3\cdot 6 + 5\cdot 8
=18 + 40
=58
Üçüncü çözüm:
3y+5x
=3\cdot 9 + 5\cdot 4
=27 + 20
=47
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 69
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Diyafantine denklem
- Tanım: Tam sayı çözümleri aranan doğrusal denklem.
- Bu problemde: 3x+4y=48 denkleminin pozitif tam çözümlerini bulmak için kullanıldı.
- Modüler aritmetik
- Tanım: Sayıların bir modüle göre kalanlarına bakma yöntemi.
- Bu problemde: 3x+4y=48 denklemini mod 3 alarak y’nin 3’ün katı olduğunu bulduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Pozitiflik koşulunu ihmal etme
- Yanlış: y=0 veya x=0 kabul etmek.
- Doğru: x,y pozitif tam sayılar olduğundan x\ge1,\ y\ge1 olmalı.
- Neden yanlış: Denklemin tam sayı çözümleri arasında sıfır veya negatifler olsa bile şart pozitiflik olduğu için elenmeli.
- Düzeltme: Çözümleri bulduktan sonra pozitiflik koşulunu kontrol et.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!