x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere asal çarpanlarının çarpımı 2^x \cdot 5^y şeklinde yazılabilen iki basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 9
Asal Çarpan Ayrışımı ile İki Basamaklı Sayıların Belirlenmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 olan sayılar A = 2^x \cdot 5^y şeklinde yazılır. x ve y pozitif tam sayılar olduğundan her iki çarpanın kuvveti en az 1 olmalı (x \ge 1, y \ge 1) ve sayı iki basamaklılık şartını (10 \le A \le 99) sağlamalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — y = 1 Durumu İçin Değerlerin Bulunması
y = 1 alındığında elde edilen sayı ifadesi A = 2^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 2^x olur. 10 \le 5 \cdot 2^x \le 99 eşitsizliğini sağlayan pozitif x değerleri belirlenir:
- x = 1 \implies A = 5 \cdot 2^1 = 10
- x = 2 \implies A = 5 \cdot 2^2 = 20
- x = 3 \implies A = 5 \cdot 2^3 = 40
- x = 4 \implies A = 5 \cdot 2^4 = 80
Bu gruptan 4 farklı iki basamaklı sayı elde edilir.
Adım 2 — y \ge 2 Durumları İçin Değerlerin Bulunması
- y = 2 için ifade A = 2^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 2^x olur:
- x = 1 \implies A = 25 \cdot 2^1 = 50
- x = 2 \implies A = 25 \cdot 2^2 = 100 (Üç basamaklı olduğu için alınmaz.)
- y \ge 3 için en küçük değer 2^1 \cdot 5^3 = 250 > 99 olup iki basamaklı sayı üretmez.
Bu gruptan yalnızca 1 farklı sayı (50) elde edilir.
Toplamda koşulu sağlayan sayılar kümesi \{10, 20, 40, 50, 80\} olup 4 + 1 = 5 tanedir.
CEVAP: C) 5 (10, 20, 40, 50, 80)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sorudaki “pozitif tam sayı” ifadesine dikkat edilmelidir; kuvvetler sıfır (0) olamayacağı için yalnızca 2’nin veya yalnızca 5’in kuvveti olan sayılar (16, 25, 32, 64 vb.) çözüme dahil edilmez.