x ve y pozitif gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda
\frac{1}{x - yi} + \frac{2}{x + yi} = \frac{9 - 4i}{5}
olduğuna göre xdot y çarpımı kaçtır?
A) \frac{1}{25}
B) \frac{6}{25}
C) \frac{8}{25}
D) \frac{9}{25}
E) \frac{12}{25}
Karmaşık Sayılarda Eşlenik ve Bölme İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki karmaşık sayının eşleniklerinin çarpımı (x - yi)(x + yi) = x^2 + y^2 özdeşliğini verir. Eşitliğin her iki tarafındaki karmaşık sayıların reel (gerçel) kısımları birbirine, sanal (imajiner) kısımları da birbirine eşitlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim:
Birinci kesri (x + yi) ile, ikinci kesri (x - yi) ile genişletelim:
\frac{1 \cdot (x + yi) + 2 \cdot (x - yi)}{(x - yi)(x + yi)} = \frac{9 - 4i}{5}
Payı düzenleyelim:
\frac{x + yi + 2x - 2yi}{x^2 + y^2} = \frac{3x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{9 - 4i}{5}
Adım 2 — Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim:
\text{Reel kısım: } \frac{3x}{x^2 + y^2} = \frac{9}{5} \implies \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{3}{5}
\text{Sanal kısım: } \frac{-y}{x^2 + y^2} = \frac{-4}{5} \implies \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{4}{5}
İkinci denklemi birinci denkleme oranlarsak:
\frac{y}{x} = \frac{4}{3} \implies y = \frac{4}{3}x
Adım 3 — x ve y değerlerini bulalım:
y = \frac{4}{3}x değerini x^2 + y^2 ifadesinde yerine yazalım:
x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2 = \frac{25}{9}x^2
Bu ifadeyi \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{3}{5} denkleminde kullanalım:
\frac{x}{\frac{25}{9}x^2} = \frac{9}{25x} = \frac{3}{5} \implies 75x = 45 \implies x = \frac{3}{5}
x değerini yerine yazarak y’yi bulalım:
y = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}
Adım 4 — x \cdot y çarpımını hesaplayalım:
x \cdot y = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25}
CEVAP: E) \frac{12}{25} (x \cdot y = \frac{12}{25})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paydaları eşlenikle genişlettikten sonra reel ve sanal kısımları ayrı ayrı oranlamak, ikinci dereceden denklem çözmeye gerek kalmadan x ve y arasındaki doğrusal oranı doğrudan verir.