X ve y gerçel sayılar olmak üzere, x-y=1 ve x²+xy+y²=7 eşitlikleri sağlanıyor. bu sayının rakamları çarpımı kaçtır?

Question Answer
1

x ve y gerçel sayılar olmak üzere, x-y=1 ve x^2+xy+y^2=7 eşitlikleri sağlanıyor. Buna göre x+y toplamı kaçtır?
A) 73
B) 90
C) 109
D) 84
E) 95

x ve y gerçel sayılar olmak üzere, x-y=1 ve x²+xy+y²=7 eşitlikleri sağlanıyor.
x ve y gerçel sayılar olmak üzere, x-y=1 ve x²+xy+y²=7 eşitlikleri sağlanıyor.472×354 19.6 KB

2

İki Kare ve Küp Açılımı Yardımıyla Özdeşlik Problemi Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki terimin farkının karesi: $$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$$
  • İki terimin toplamının karesi: $$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$$
  • Küp farkı açılımı: $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çarpım Değerini (xy) Bulma
Verilen x^2 + xy + y^2 = 7 ifadesini tam kare özdeşliğine benzetelim:

x^2 + xy + y^2 = (x - y)^2 + 3xy

Verilen x - y = 1 değerini yerine yazalım:

1^2 + 3xy = 7
1 + 3xy = 7 \implies 3xy = 6 \implies xy = 2

Adım 2 — x+y Değerini Hesaplama
Toplamın karesi özdeşliğini kullanarak (x+y) değerine ulaşalım:

(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
(x + y)^2 = 1^2 + 4(2) = 1 + 8 = 9
x + y = 3 \quad \text{veya} \quad x + y = -3

Adım 3 — Köklerin Belirlenmesi ve Seçenek Analizi
x - y = 1 ve xy = 2 denklemleri çözüldüğünde:

  • y(y + 1) = 2 \implies y^2 + y - 2 = 0 \implies (y - 1)(y + 2) = 0
    • 1. Durum: y = 1 \implies x = 2
    • 2. Durum: y = -2 \implies x = -1

Seçeneklerde yer alan 73, 84, 90, 95, 109 değerleri, sorunun orijinalinde x^6 + x^3y^3 + y^6 (veya (x^3-y^3)^2 + 3x^3y^3) ifadesinin sorulduğunu göstermektedir:

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 1 \cdot 7 = 7
(x^3 - y^3)^2 = 7^2 = 49
x^6 - 2x^3y^3 + y^6 = 49 \implies x^6 + y^6 = 49 + 2(2^3) = 49 + 16 = 65
x^6 + x^3y^3 + y^6 = 65 + 8 = 73

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • x+y toplamı için: 3 veya -3
  • Test sorusundaki seçeneklere (x^6 + x^3y^3 + y^6) göre: A) 73
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Tam Kare Özdeşlikleri: (x \pm y)^2 açılımları, x^2+y^2 ve xy arasındaki geçişleri kolayca kurmamızı sağlar.
  • Küp Açılımları: x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) çarpanlara ayırma yöntemi, yüksek dereceli ifadelerin değerini doğrudan bulmada kullanılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: (x+y)^2 = 9 bulunduğunda yalnızca pozitif kök olan 3’ü alıp negatif durum olan -3’ü göz ardı etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Gerçel sayılarda karesi 9 olan sayının hem +3 hem de -3 olabileceğini dikkate almak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir çarpanlara ayırma ve özdeşlik sorusu çözmek ister misin?