x ve y gerçel sayılar olmak üzere,
\frac{1}{7} \leq \frac{1}{x} < \frac{1}{3}
\frac{1}{5} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, x + y toplamının en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) [5, 12]
B) (5, 12]
C) (9, 12]
D) [5, 10]
E) (5, 10)
x + y Toplamının En Geniş Değer Aralığının Bulunması
KULLANILAN KURAL VE ÖZELLİKLER:
Aynı işaretli pozitif reel sayılarda eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında (kesirler ters çevrildiğinde) eşitsizlik yön değiştirir:
0 < a \leq b < c \implies \frac{1}{c} < \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}
Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırken:
- Biri kesin eşitsizlik (<), diğeri dahil eşitsizlik (\leq) ise toplamın sınırı kesin eşitsizlik (<) olur.
- Her ikisi de dahil (\leq) ise toplamın sınırı da dahil (\leq) olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değişkeninin Değer Aralığını Belirleme
Verilen eşitsizlik:
\frac{1}{7} \leq \frac{1}{x} < \frac{1}{3}
Tüm terimler pozitif olduğu için çarpmaya göre terslerini alıp eşitsizliği yön değiştirelim:
3 < x \leq 7
Adım 2 — y Değişkeninin Değer Aralığını Belirleme
Verilen eşitsizlik:
\frac{1}{5} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}
Tüm terimler pozitif olduğu için çarpmaya göre terslerini alıp eşitsizliği yön değiştirelim:
2 \leq y \leq 5
Adım 3 — Eşitsizlikleri Taraf Tarafa Toplama
Elde edilen aralıkları alt alta yazıp toplayalım:
$$\begin{aligned}
3 &< x \leq 7 \
+\quad 2 &\leq y \leq 5 \
\hline
3 + 2 &< x + y \leq 7 + 5 \
5 &< x + y \leq 12
\end{aligned}$$
Bu aralık aralık gösterimiyle (5, 12] şeklinde ifade edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (5, 12]
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basit Eşitsizliklerde Ters Çevirme
- Tanım: Pozitif sayılarda pay ile payda yer değiştirdiğinde büyüklük sıralaması tersine döner.
- Bu problemde: \frac{1}{x} aralığı ters çevrilerek x aralığı 3 < x \leq 7 olarak bulunmuştur.
2. Açık ve Yarı Açık Aralıklar
- Tanım: Sınır değeri dahil değilse yay ayraç ( veya ), sınır değeri dahilse köşeli ayraç [ veya ] kullanılır.
- Bu problemde: Alt sınır 5 dahil olmadığından (5, üst sınır 12 dahil olduğundan 12] şeklinde yazılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Tam Sayı Değerleri Seçmek
- Yanlış: x ve y için x \in \{4, 5, 6, 7\} ve y \in \{2, 3, 4, 5\} tam sayılarını seçip aralığı [6, 12] bulmak.
- Doğru: Soruda x ve y birer gerçel (reel) sayı olarak belirtildiği için değer seçilmez, eşitsizlikler doğrudan taraf tarafa toplanır.
- Neden yanlış: Gerçel sayılarda x = 3.1 veya y = 2.1 gibi ondalıklı değerler de aralığa dahildir.
Bu soru tipinde sınırların dahil olup olmama mantığını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?