x ve y gerçel sayılar olmak üzere,
\frac{1}{16} < x < \frac{1}{4}
\frac{1}{5} < y < \frac{1}{2}
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, \frac{x+y}{x dot y} ifadesinin en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 20)
B) (5, 16)
C) (2, 9)
D) (2, 16)
E) (6, 21)
Eşitsizlikler ile Verilen İfadenin En Geniş Değer Aralığının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Rasyonel ifade sadeleştirme:\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{x}{x \cdot y} + \frac{y}{x \cdot y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}
- Pozitif reel sayılarda eşitsizliğin çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir:0 < a < x < b \implies \frac{1}{b} < \frac{1}{x} < \frac{1}{a}
- Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir:a < A < b \quad \text{ve} \quad c < B < d \implies a+c < A+B < b+d
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İstenen İfadeyi Basit Kesirlere Ayırma
İfademizi paydaları ayırarak daha sade bir forma dönüştürelim:
\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}
Adım 2 — \frac{1}{x} İfadesinin Değer Aralığını Bulma
x için verilen eşitsizlik:
\frac{1}{16} < x < \frac{1}{4}
Tüm sınırlar pozitif olduğu için terimlerin çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir:
16 > \frac{1}{x} > 4 \implies 4 < \frac{1}{x} < 16
Adım 3 — \frac{1}{y} İfadesinin Değer Aralığını Bulma
y için verilen eşitsizlik:
\frac{1}{5} < y < \frac{1}{2}
Terimlerin çarpmaya göre tersini aldığımızda:
5 > \frac{1}{y} > 2 \implies 2 < \frac{1}{y} < 5
Adım 4 — Eşitsizlikleri Taraf Tarafa Toplama
Elde ettiğimiz iki eşitsizliği alt alta yazıp toplayalım:
4 < \frac{1}{x} < 16
2 < \frac{1}{y} < 5
+ \text{---------------------}
4 + 2 < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} < 16 + 5
6 < \frac{x+y}{x \cdot y} < 21
Bu durum açık aralık olarak (6, 21) şeklinde ifade edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (6, 21)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesirlerin Ayrıştırılması
- Tanım: Payında toplama olan kesirlerin ortak payda paylaştırılması işlemidir.
- Bu problemde: \frac{x+y}{x \cdot y} ifadesini doğrudan hesaplamak yerine \frac{1}{x} + \frac{1}{y} toplamına dönüştürerek çözümü kolaylaştırdık.
2. Eşitsizliklerin Tersi ve Yön Değişimi
- Tanım: Pozitif terimlerden oluşan bir eşitsizlikte her elemanın çarpmaya göre tersi alındığında büyük olan değer küçülür, küçük olan büyür.
- Bu problemde: \frac{1}{16} < x < \frac{1}{4} aralığından 4 < \frac{1}{x} < 16 aralığına geçişte kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Değer Seçme / Tam Sayı Verme Hatası
- Yanlış: x ve y gerçel (reel) sayı dendiği halde aralıktan rastgele tam sayı değerleri seçip hesaplama yapmak.
- Doğru: Soru kökünde “gerçel sayılar” dendiği için sınır değerler üzerinden eşitsizlik kuralları uygulanmalıdır.
- Neden yanlış: Seçilen tam sayılar tüm reel sayı aralığını kapsamaz ve en geniş aralığı eksik verir.
Pay ve Paydayı Ayrı Ayrı Eşitsizlik Olarak Bölme Hatası
- Yanlış: (x+y) aralığını ve (x \cdot y) aralığını ayrı ayrı bulup birbirine bölmeye çalışmak.
- Doğru: İfadeyi \frac{1}{x} + \frac{1}{y} haline getirip taraf tarafa toplamak.
- Neden yanlış: Eşitsizlikler taraf tarafa bölünemez; bu yöntem hatalı aralıklar üretir.
Bu soru tipinde benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?