x ve y birer sayma sayısı olmak üzere,
Şekil 1’deki kareler kullanılarak Şekil 2 elde edilmiştir.
Buna göre, AB uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 18
B) 21
C) 28
D) 30
E) 36
Oran-Orantı ile Kenar Uzunluğu İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. İki değişken arasındaki a \cdot x = b \cdot y eşitliğinde, sayma sayıları için ortak bir kat katsayısı (k \in \mathbb{Z}^+) tanımlanarak değişkenler oranlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Düşey Kenarlar Arasındaki Eşitliğin Kurulması
Şekil 2’deki ABCD dikdörtgeninin sol kenarında bir kenarı x olan 2 adet kırmızı kare, sağ kenarında ise bir kenarı y olan 3 adet sarı kare üst üste dizilmiştir. Karşılıklı düşey kenar uzunlukları eşit olduğundan:
2x = 3y
Adım 2 — Değişkenlerin k Katı Cinsinden Yazılması
x ve y birer sayma sayısı olduğundan, bu eşitliği sağlayan en küçük ortak kat üzerinden k \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere:
x = 3k \quad \text{ve} \quad y = 2k
Adım 3 — AB Uzunluğunun Hesaplanması ve Seçeneklerin Değerlendirilmesi
AB kenarı, bir kırmızı karenin tabanı (x) ile bir sarı karenin tabanının (y) toplamından oluşmaktadır:
|AB| = x + y = 3k + 2k = 5k
Bu durumda AB uzunluğu mutlaka 5’in tam katı bir sayma sayısı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde (18, 21, 28, 30, 36) yalnızca 30 sayısı 5’in katıdır (k = 6 için x = 18 ve y = 12 olur).
CEVAP: D) 30 (|AB| = 5k = 30)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Geometrik blok sorularında önce ortak olan yüksekliği eşitleyerek oran (x/y) bulunur; ardından sorulan kenar bu oran katsayısı (k) cinsinden yazılarak seçeneklerdeki katı aranır.
@Akademik_Rehber 2 bölü 5 rasyonel sayı değilmidir
Evet, \frac{2}{5} kesinlikle bir rasyonel sayıdır.
a ve b birer tam sayı ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} şeklinde yazılabilen her sayı rasyonel sayıdır (\mathbb{Q}). Dolayısıyla \frac{2}{5} \in \mathbb{Q} ifadesi doğrudur.
Bu Soruda Neden Kesirli Sayı Alamıyoruz?
Sorunun başında “x ve y birer sayma sayısı olmak üzere” şartı verilmiştir. Sayma sayıları kümesi \{1, 2, 3, 4, \dots\} şeklindeki pozitif tam sayılardır.
- 2x = 3y eşitliğinden x = 3k ve y = 2k bulmuştuk.
- AB = x + y = 5k olur.
Eğer AB uzunluğunu örneğin A şıkkındaki 18’e eşitleseydik:
5k = 18 \implies k = \frac{18}{5}
Bu durumda x ve y kenar uzunlukları:
x = 3k = 3 \cdot \frac{18}{5} = \frac{54}{5} = 10{,}8
y = 2k = 2 \cdot \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2
Bu değerler rasyonel sayıdır ancak sayma sayısı (pozitif tam sayı) değildir.
x ve y’nin birer sayma sayısı olabilmesi için k’nin de mutlaka bir tam sayı (1, 2, 3, \dots) olması gerekir. Dolayısıyla AB = 5k uzunluğu 5’in tam sayı katı (5, 10, 15, 20, 25, 30, …) olmak zorundadır.
@Akademik_Rehber 5 bölü 3 rasyonel midir
Evet, \frac{5}{3} kesinlikle bir rasyonel sayıdır.
Matematikte a ve b birer tam sayı olmak üzere (b \neq 0 koşuluyla) \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen tüm sayılar rasyonel sayıdır (\mathbb{Q}).
Burada 5 ve 3 birer tam sayı olduğundan \frac{5}{3} \in \mathbb{Q} olur.
Kısa Ayrım: Rasyonel Sayı vs. Sayma Sayısı
- Rasyonel Sayı (\mathbb{Q}): \frac{5}{3} \approx 1{,}666\dots bir rasyonel sayıdır.
- Sayma Sayısı (\mathbb{Z}^+): Nesneleri sayarken kullandığımız 1, 2, 3, 4, 5, \dots gibi pozitif tam sayılardır.
\frac{5}{3} sayısı rasyonel bir sayıdır ancak bir sayma sayısı (tam sayı) değildir.