X ve y birer rakam olmak üzere,

YKS TYT
1

x ve y birer rakam olmak üzere,
4 < x \leq 6
2 \leq y < 7
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, (x + 2)^{y - x} ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

x ve y birer rakam olmak üzere, 4 x ≤ 6 2 ≤ y 7 eşitsizlikleri veriliyor.
x ve y birer rakam olmak üzere, 4 x ≤ 6 2 ≤ y 7 eşitsizlikleri veriliyor.1024×349 76.4 KB

2

Eşitsizlikler ve Üslü İfadelerde En Büyük Değer

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Rakamlar Kümesi: \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
  • Tabanı 1’den büyük olan bir üslü ifadenin (a > 1) değerinin en büyük olması için üssün (n) alabileceği en büyük değere ulaşması gerekir:
a^n \text{ ifadesinde } a > 1 \text{ iken } n \text{ arttıkça değer büyür.}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x ve y Rakamlarının Olası Değerlerini Belirleme
x ve y birer rakam (yani tam sayı) olduğundan verilen aralıklardaki değerleri listeleyelim:

  • 4 < x \leq 6 \implies x \in \{5, 6\}
  • 2 \leq y < 7 \implies y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}

Adım 2 — x = 5 Durumu İçin İfadeyi İnceleme
x = 5 seçildiğinde taban (x + 2) = 5 + 2 = 7 olur.
İfadenin üssü y - x = y - 5 şeklindedir. Değerin en büyük olması için y’nin alabileceği en büyük değer olan y = 6 seçilir:

(5 + 2)^{6 - 5} = 7^1 = 7

Adım 3 — x = 6 Durumu İçin İfadeyi İnceleme
x = 6 seçildiğinde taban (x + 2) = 6 + 2 = 8 olur.
İfadenin üssü y - x = y - 6 şeklindedir. Üssü en büyük yapmak için y’nin en büyük değeri olan y = 6 seçilir:

(6 + 2)^{6 - 6} = 8^0 = 1

Adım 4 — Sonuçları Karşılaştırma
Bulunan olası değerler incelendiğinde (y’nin daha küçük değerleri için üs negatif olacağından sonuçlar 1’den de küçük basit kesirler çıkacaktır):

  • x = 5, y = 6 \implies 7
  • x = 6, y = 6 \implies 1

Elde edilen en büyük değer 7’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Rakam Koşulu: Soruda verilen değişkenlerin reel sayı değil “rakam” belirtmesi, değer kümesini yalnızca tam sayılarla sınırlandırır.
  • Sıfırıncı Kuvvet: Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir (a^0 = 1).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Tabanı daha büyük yapmak için doğrudan en büyük x değeri olan x = 6 değerini seçip 8^0 = 1 sonucunu en büyük zannetmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Üslü sayılarda taban kadar üssün de büyüklüğü belirlediğini unutmamak; x = 5 seçildiğinde üssün 1 gelmesiyle tabanın 7^1 = 7 olarak daha büyük bir sonuca ulaştığını görmek.

Bu sorunun benzer mantıkta kurgulanmış “en küçük değer” versiyonunu da birlikte çözmek ister misin?