X ve y birer doğal sayıdır. | 1792074142245

YKS TYT
1

x ve y birer doğal sayıdır.
\frac{x!}{y!} = 24
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değer en küçük değerden kaç fazladır?
A) 41
B) 43
C) 45
D) 47
E) 48

x ve y birer doğal sayıdır.
x ve y birer doğal sayıdır.1024×768 136 KB

2

Faktöriyel Bölümü ve Doğal Sayı Değerleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Faktöriyel açılımı: x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \dots (y+1) \cdot y! \implies \frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \dots (y+1)
  • Doğal sayılar kümesi: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}
  • Özel durum: 0! = 1 ve 1! = 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitliğin Düzenlenmesi
Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapalım:

\frac{x!}{y!} = 24 \implies x! = 24 \cdot y!

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için 24 sayısını ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmamız gerekir.

Adım 2 — En Büyük x + y Değerinin Bulunması
x ve y değerlerini en büyük yapmak için 24 sayısını tek bir çarpan olarak düşünürüz:

x! = 24 \cdot 23!

Buradan:

x = 24 \quad \text{ve} \quad y = 23

elde edilir. Bu durumda en büyük toplam:

(x + y)_{\text{en büyük}} = 24 + 23 = 47

Adım 3 — En Küçük x + y Değerinin Bulunması
24 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde çarpanlarına ayıralım:

24 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Bu ifade faktöriyel tanımına göre:

\frac{4!}{y!} = 24

Buradan y! = 1 olmalıdır.

y bir doğal sayı olduğuna göre:

  • y = 1 \implies 1! = 1 \implies x + y = 4 + 1 = 5
  • y = 0 \implies 0! = 1 \implies x + y = 4 + 0 = 4

Toplamın en küçük olması istendiğinden y = 0 alınır:

(x + y)_{\text{en küçük}} = 4 + 0 = 4

Adım 4 — Farkın Hesaplanması
En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark:

47 - 4 = 43

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 43
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • 0! = 1 Kuralı: 0 bir doğal sayıdır ve faktöriyeli 1’e eşittir. En küçük değer aranırken 0 mutlaka hesaba katılmalıdır.
  • Ardışık Çarpanlar: Faktöriyellerin bölümü daima ardışık azalan sayıların çarpımını verir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Doğal sayı dendiğinde y = 0 durumunu unutup en küçük değeri y = 1 için 4 + 1 = 5 olarak almak ve farkı 47 - 5 = 42 bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Sıfırın bir doğal sayı olduğunu ve 0! = 1 eşitliğini unutmayarak y = 0 değerini değerlendirmek.

Benzer bir faktöriyel sorusuyla pratik yapmak ister misin?