LKKA12MAT24-021
X ve y birer doğal sayı olmak üzere
4x? -y? 23
olduğuna göre y-Xkaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
Asal Sayilar
D) 6
E)7
İki Kare Farkı ve Asal Sayı Özelliği ile Çözüm
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki Kare Farkı Özdeşliği: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
- Asal Sayı Tanımı: p bir asal sayı ise pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisidir (p).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Çarpanlarına Ayırma
Verilen 4x^2 - y^2 ifadesi iki kare farkı biçiminde yazılabilir:
(2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y) = 23
Adım 2 — Asal Sayı Çarpanlarını Eşitleme
x ve y birer doğal sayı (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}) ve 23 bir asal sayı olduğundan, çarpımın çarpanları sadece 1 ve 23 olabilir. Doğal sayılar için 2x + y \ge 2x - y olacağından:
2x - y = 1
2x + y = 23
Adım 3 — Denklem Sistemini Çözerek x ve y Değerlerini Bulma
İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
(2x - y) + (2x + y) = 1 + 23
4x = 24 \implies x = 6
Bulduğumuz x = 6 değerini denklemlerden birinde yerine yazalım:
2(6) + y = 23
12 + y = 23 \implies y = 11
(Bulunan x = 6 ve y = 11 değerleri birer doğal sayıdır ve şartları sağlar.)
Adım 4 — İstenen y - x Farkını Hesaplama
y - x = 11 - 6 = 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı — 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İki Kare Farkı: Terimlerin karelerinin farkı, bu iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
- Asal Çarpan Özelliği: Asal sayıya eşit olan iki tam sayının çarpımında küçük çarpan mutlaka 1, büyük çarpan ise asal sayının kendisine eşit olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 4x^2 ifadesini (4x)^2 olarak alıp (4x - y)(4x + y) = 23 şeklinde çarpanlarına ayırmak.- Doğru Yaklaşım: 4x^2 = (2x)^2 olduğundan tabanın 2x olduğunu unutmamak gerekir.
Benzer bir iki kare farkı ve asal sayı sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?