Matematik Problemi: x ve y asal sayılar, EKOK ve toplam ilişkisi
Önemli Noktalar
- x ve y, asal sayılar
- EKOK(x, y) = 240
- Toplamları, x + \frac{48}{y} = 18
- x değeri soruluyor
x ve y asal sayılar için EKOK (En Küçük Ortak Kat) ve toplam ilişkileri verilmiş. Bu verilerle x’i bulacağız.
İçindekiler
- Verilen Bilgilerin Analizi
- Çözüm Adımları
- Karşılaştırma Tablosu: Asal Sayılar ve EKOK İlişkisi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Verilen Bilgilerin Analizi
- x ve y asal sayılar
- EKOK(x, y) = 240
- Denkleme göre x + \frac{48}{y} = 18
Asal sayıların EKOK’u onların çarpımıdır, çünkü asal sayılar ortak çarpan içermez.
Yani:
Buradan,
Ayrıca,
2. Çözüm Adımları
Adım 1: Asal sayıların çarpımının 240 olması gerekiyor. 240’ın asal çarpanlara ayrımı:
Asal çarpanlar: 2, 3, 5
Ancak x ve y asal ve sadece iki sayı olacak. 240 aynı zamanda şu şekillerde de çarpılabilir:
- 15 × 16 (16 asal değil)
- 10 × 24 (24 asal değil)
- 12 × 20 (her ikisi de asal değil)
Ancak çarpımı 240 yapan asal sayı çiftleri sadece birden fazla asalın çarpımı olmalı.
Ama burada x ve y tek asal sayılar olmalı, dolayısıyla sonuç 240 olamaz. Ancak problemde verilen bazı bilgileri farklı yorumlamalıyız.
Adım 2: Soruda EKOK(x, y) = 240, ve x + \frac{48}{y} = 18 denmiş. Burada y’nin tam olarak bölen olması gerekiyor ki \frac{48}{y} tam sayı olsun.
Adım 3: 48’nin bölen asal sayıları: 2 ve 3.
Bu durumda y=2 veya y=3 olacaktır.
- Eğer y=2 ise
x \times y = EKOK(x,y) = 240
Asal sayıların EKOK’u çap*çarpan olduğu için EKOK(x,y) = x \times y olur.
Burada
Ama 120 asal değil.
- Eğer y=3 ise
80 asal değil.
Adım 4: Peki ya y daha büyük asal olabilir mi? 240’ın asal çarpanları dışında asal sayılar için çarpım olur mu?
Asal çarpanlar sadece 2,3,5 olduğundan 7,11,13,17,19 gibi asal çarpanlar 240’ın böleni değil.
Ancak EKOK, ortak asal çarpanların maksimum kuvvetlerine göre hesaplanır.
Adım 5: x ve y asal olduğundan ortak asal çarpan yoktur, o zaman EKOK = x × y.
240’ın asal çarpanları 2,3,5
240 = 2^4 × 3 × 5
Dolayısıyla x ve y asal ve çarpımları 240 olmalı, en olası seçimler:
- x = 15 , y = 16 (16 asal değil)
- x= 5 , y= 48 (48 asal değil)
Bu mümkün değil.
Adım 6: Parametreleri farklı yorumlayalım.
Soruda “x ve y arasında asal sayılar olmak üzere” denmiş. Bu ifadenin anlamı doğru veya yanlış olabilir.
Soruyu kolaylaştırmak için x, y asal sayılar.
EKOK = 240
x + \frac{48}{y} =18
Zoom: \frac{48}{y} tam sayı olmalı.
Ayrıca verilen şıklardaki tam sayılar da asal sayılar:
17, 11, 13, 19, 15 (15 asal değil, çünkü 3×5)
Adım 7: Şıklarda olmayan ama 240’ın asal çarpanları olabilir:
240 = 15 \times 16 , şıklarda 15 var ama 16 asal değil.
Adım 8: y asal ve tam bölen olmalı, \frac{48}{y} tam sayı, y’nin bölenleri 2,3.
y=2 veya 3!
y=2 ise
x+ \frac{48}{2} = 18 \Rightarrow x + 24 = 18 \Rightarrow x = -6 olamaz.
y=3 ise
x + \frac{48}{3} =18 \Rightarrow x + 16 = 18 \Rightarrow x=2 (2 asal, fakat 2×3=6 EKOK 6, değil 240)
Adım 9: y=5 olabilir? (5 asal, 48/5 tam sayı değil)
y= 1 asal değil
y= 11 , 48/11 tam sayı değil
Adım 10: Alternatif çözüm:
Belki x ve y asal değil, “x ve y arasında asal sayılar olmak üzere” ifadesinde “aralarında asal” (yani ortak böleni 1) olabilir.
Eğer x ve y aralarında asal ise,
EKOK formülü:
Çünkü EBOB=1.
Adım 11:
48/y tam sayı ise, y \in \{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}
Şimdi bunlardan y asal değil, (ancak aralarında asal olmalı).
Örnek: y=15
48/15 tam sayı değil
…
y= 3 , 48/3=16,
x + 16 =18\Rightarrow x=2
x\times y=2 \times 3=6 \neq 240
Adım 12: y= 5 ,
48/5 tam sayı değil
y= 4 , değil
y= 6 , değil
y=8 , değil
Adım 13: y= 12 , değil
y= 16 , değil
y= 24 , değil
y=48 , değil
Son Çözüm: y = 15 (Şıklarda var ve 15 asal değil)
Alternatif: Sorudaki “\frac{48}{y}+x=18” eşitliğinde y’nin bölen olduğuyla ilgili hata olabilir, ya da kesir kullanılmadan başka yöntem.
Doğru Yöntem: Şıklara göre kontrol
Şıklar:
- A) 17
- B) 11
- C) 13
- D) 19
- E) 15
15 seçeneği asal değildir, ipucu olabilir.
EKOK 240 olan asal sayılar x,y için çarpım 240 olmalı.
240 asal çarpanlara ayrımı:
Görüldüğü üzere, asal sayıların çarpımı 240 olamaz çünkü 240 birden fazla asalın çarpımı (tek bir asal sayı değil).
Ama eğer x ve y aralarında asal (yani ortak böleni 1) ise, EKOK = x * y. Burada x ve y asal olmayabilir sadece aralarında asal.
**Yani problemde “x ve y arasında asal sayılar olmak üzere” ifadesi “x ve y aralarında asal” demek.
Öyleyse:
-
x \times y = 240
-
x + \frac{48}{y} = 18
Tüm tam bölenleri kontrol ediyoruz:
240’ın tam bölenlerinden y olarak seçelim:
Yalnızca y 48’i bölen sayılar olabilir ki 48 / y tam sayı olsun.
48’in tam bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Bu değerlere göre x = \frac{240}{y}
Ve kontrol et:
Test edelim:
| y | x=240/y | x + 48/y | x aralarında asal mı y ile? | Not |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 240 | 240+48=288 (≠18) | x,y=1,240 ortak değil | Hayır |
| 2 | 120 | 120 + 24 =144 (≠18) | 2 ve 120 ortb. var | Hayır |
| 3 | 80 | 80 + 16 = 96 (≠18) | 3 ve 80 ortak değil | Hayır |
| 4 | 60 | 60 + 12= 72 (≠18) | 4 ve 60 ortak | Hayır |
| 6 | 40 | 40 + 8=48 (≠18) | 6,40 ortak | Hayır |
| 8 | 30 | 30 + 6=36 (≠18) | 8,30 ortak | Hayır |
| 12 | 20 | 20 + 4 = 24 (≠18) | 12,20 ortak | Hayır |
| 16 | 15 | 15 + 3=18 (eşit) | 16 ve 15 aralarında asal? | Evet! |
16 ve 15 ortak bölenleri 1
EKOK(16,15) = 240 (çarpımları)
Şartlar sağlandı!
Sonuç:
Şıklarda 15 yok gibi görünüyor ama 15 E şıkkında var.
3. Karşılaştırma Tablosu: Asal Sayılar ve Aralarında Asal Sayılar
| Özellik | Asal Sayılar | Aralarında Asal Sayılar |
|---|---|---|
| Tanım | 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılar | Ortak böleni 1 olan iki sayı |
| EKOK hesabı | EKOK = çarpımları (ortak bölen yoksa) | EKOK = çarpımları |
| Örnek | 2,3,5,7 | 16 ve 15 |
| Toplam özel durumu | Her asal tek başına tanımlı | İki sayı toplamları önemlidir |
4. Özet Tablo
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| EKOK Şartı | EKOK(x,y) = x \times y = 240 |
| Toplam Eşitliği | x + \frac{48}{y} = 18 |
| Tam Bölme Koşulu | 48 / y tam sayı |
| 16 ve 15 aralarında asal ve uygun | x = 15, y=16 |
| Cevap Seçeneği | E) 15 |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Aralarında asal ne demek?
İki sayının yalnızca 1 ortak böleni varsa, bu sayılar aralarında asaldır.
2. EKOK nedir?
En küçük ortak kat, iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Aralarında asal ise, EKOK çarpımlarıdır.
3. 48 neden tam bölünmeli?
Denklemde \frac{48}{y} tam sayı olduğundan, y 48’i tam bölmeli.
4. x ve y gerçekten asal mı?
Soru tam anlamıyla “x ve y arasında asal sayı” ifadesiyle aralarındaki asalılığı kastetmiştir; tek başına asallarını değil.
5. Neden 15 seçildi?
15 asal değil ama şıklarda var ve problem koşullarını sağlıyor. Bu nedenle cevap E) 15.
Sonraki Adımlar
x ve y sayılarının asal olup olmaması arasındaki farkları örneklerle detaylandırmamı ister misiniz?
x ve y aralarında asal sayılar olmak üzere EKOK(x,y)=240 ve x + 48/y = 18 eşitlikleri veriliyor. Buna göre x kaçtır?
Önemli Noktalar
- EKOK ve EBOB ilişkisi: İki sayının aralarında asal olması durumunda \mathrm{lcm}(x,y)=x\,y ve \gcd(x,y)=1
- Denklem Sistemi:
- xy = 240
- x + \dfrac{48}{y} = 18
- Sonuç: Elde edilen denklemden x=15 ve y=16 bulunur.
x = 15
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Aralarında asal olmak:\gcd(x,y)=1
- EKOK koşulu:\mathrm{lcm}(x,y)=240\quad\Longrightarrow\quad x\,y=240
- İkinci eşitlik:x + \frac{48}{y}=18
- y=\dfrac{240}{x} ifadesini yerine koyarak:x + \frac{48}{240/x} = 18 \;\Longrightarrow\; x + \frac{48x}{240} = 18 \;\Longrightarrow\; x + \frac{x}{5} = 18 \;\Longrightarrow\; \frac{6x}{5} = 18 \;\Longrightarrow\; x = 15
Eşitliklerin Türetimi
-
İki pozitif tam sayı için
\mathrm{lcm}(x,y)\times\gcd(x,y)=x\,y -
Aralarında asal olduğunda \gcd(x,y)=1
-
Böylece doğrudan x\,y=240 sonucuna ulaşılır.
-
Ardından x + \dfrac{48}{y}=18 denklemi, y=240/x ile sadeleştirilir ve x=15 bulunur.
EBOB ve EKOK Karşılaştırması
| Özellik | EBOB (gcd) | EKOK (lcm) |
|---|---|---|
| Tanım | En büyük ortak bölen | En küçük ortak kat |
| Formül | \gcd(x,y) | \mathrm{lcm}(x,y) |
| Aralarında asal | \gcd(x,y)=1 | \mathrm{lcm}(x,y)=x\,y |
| Örnek (15,16) | \gcd(15,16)=1 | \mathrm{lcm}(15,16)=240 |
Özet Tablosu
| Değer | x | y | \gcd(x,y) | \mathrm{lcm}(x,y) | x + \tfrac{48}{y} |
|---|---|---|---|---|---|
| Sonuç | 15 | 16 | 1 | 240 | 18 |
SSS
- EKOK nedir?
İki sayının ortak katları içinde en küçük pozitif olana EKOK denir. - Aralarında asal ne demektir?
İki sayının ortak bölenlerinin sadece 1 olması durumudur. - EKOK ve EBOB arasında ne ilişki vardır?\mathrm{lcm}(x,y)\times\gcd(x,y)=x\,y
- Bu tür problemlerde izlenecek adımlar nelerdir?
- GCD ve LCM koşullarını belirle
- Eşitlikleri yaz ve birbirine eşitle
- Bulduğun denklem sistemini çöz
Başka bir ikili sayıyla benzer bir EKOK–EBOB problemi çözmek ister misiniz?
@Eda_Tunc