Soru:
x tam sayıdır.
\frac{2x - 7}{x - 2} = \frac{3}{7}
ifadeleri tam sayı yapan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
Sorunun Restatement
x tam sayısının, ifadesi
\frac{2x - 7}{x - 2}
tam sayı yapan farklı tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm Adımları
Kullanılan kural: Bir kesrin değeri tam sayı olması için, payın paydaya tam bölünmesi gerekir.
Adım 1 — Kesrinin tanımlı olduğu x değerlerini bulma
Paydada sıfır olmamalıdır:
x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2
Adım 2 — Kesrin tam sayı olması için şartı yazma
\frac{2x - 7}{x - 2} = k, \quad k \in \mathbb{Z}
Burada k tam sayıdır.
Buna göre:
2x - 7 = k(x - 2)
2x - 7 = kx - 2k
Adım 3 — x’i k cinsinden bulma
Denklemi düzenleyelim:
2x - kx = -2k + 7
x(2 - k) = -2k + 7
x = \frac{-2k + 7}{2 - k}
Adım 4 — x tam sayı olmalı
Burada k \in \mathbb{Z} ve x \in \mathbb{Z} olmalı.
Ayrıca x \neq 2.
Adım 5 — Deneyerek k değerlerini bulma
k için tamsayı değerlerini deneyelim ve x’in tam sayı olup olmadığına bakalım.
Ayrıca paydanın sıfır olmaması için dikkat edelim:
2 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq 2
Şimdi k’ya farklı tam sayılar verip x değerlerini bulalım:
| k | x = \frac{-2k + 7}{2 - k} | x tam sayı mı? | Notlar |
|---|---|---|---|
| -3 | \frac{-2(-3)+7}{2 - (-3)} = \frac{6 + 7}{5} = \frac{13}{5} | Hayır | |
| -2 | \frac{-2(-2)+7}{2 - (-2)} = \frac{4 + 7}{4} = \frac{11}{4} | Hayır | |
| -1 | \frac{-2(-1)+7}{2 - (-1)} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3 | Evet | x=3 \neq 2 |
| 0 | \frac{-2(0)+7}{2 - 0} = \frac{7}{2} = 3.5 | Hayır | |
| 1 | \frac{-2(1)+7}{2 - 1} = \frac{-2 + 7}{1} = 5 | Evet | x=5 |
| 2 | Tanımsız (payda sıfır) | - | Atla |
| 3 | \frac{-2(3)+7}{2 - 3} = \frac{-6 + 7}{-1} = \frac{1}{-1} = -1 | Evet | x=-1 |
| 4 | \frac{-2(4)+7}{2 - 4} = \frac{-8 + 7}{-2} = \frac{-1}{-2} = 0.5 | Hayır | |
| 5 | \frac{-2(5)+7}{2 - 5} = \frac{-10 + 7}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1 | Evet | x=1 |
| 6 | \frac{-2(6)+7}{2 - 6} = \frac{-12 + 7}{-4} = \frac{-5}{-4} = 1.25 | Hayır | |
| 7 | \frac{-2(7)+7}{2 - 7} = \frac{-14 + 7}{-5} = \frac{-7}{-5} = 1.4 | Hayır | |
| 8 | \frac{-2(8)+7}{2 - 8} = \frac{-16 + 7}{-6} = \frac{-9}{-6} = 1.5 | Hayır | |
| 9 | \frac{-2(9)+7}{2 - 9} = \frac{-18 + 7}{-7} = \frac{-11}{-7} = 1.57... | Hayır |
Adım 6 — Negatif daha büyük k değerlerine bakalım
Daha önce denedik, sadece -1 ve 1,3,5 için tam sayı çıktı.
Biraz daha deneyelim:
| k | x=\frac{-2k+7}{2-k} | Tam sayı mı? |
|---|---|---|
| -4 | \frac{8+7}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 | Hayır |
| -5 | \frac{10+7}{7} = \frac{17}{7} = 2.42... | Hayır |
Bize uygun tam sayı yapan k değerleri:
k = -1, 1, 3, 5
Bu k değerlerine karşılık x:
x=3, 5, -1, 1
Adım 7 — k değerleri ile eşleşmeyen x değerleri arasından tam sayı olan başka değer var mı?
Başka bir yaklaşımla:
y = \frac{2x - 7}{x-2} \text{ tam sayı}
y = \frac{2x - 7}{x - 2} = 2 + \frac{-3}{x - 2}
Buradan:
y \in \mathbb{Z} \implies \frac{-3}{x-2} \in \mathbb{Z}
Yani x-2 sayısı -3’ü tam bölmeli.
x - 2 \mid -3
Bölen (x-2) tam sayısı -3, -1, 1, 3 olabilir.
Buna göre x değerleri:
| Bölüm | x = 2 + \text{bölen} | x değeri |
|---|---|---|
| -3 | 2 - 3 = -1 | -1 |
| -1 | 2 - 1 = 1 | 1 |
| 1 | 2 + 1 = 3 | 3 |
| 3 | 2 + 3 = 5 | 5 |
Daha önce de bu 4 x değerini bulduk.
Adım 8 — Cevap
İfade tam sayı yapan farklı x tam sayısı 4’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar
- Kesir ifadelerinin tam sayı olması için paydanın paydaya tam bölünmesi gerekir.
- Bölme işleminde paydayı sıfır yapmamak zorunludur.
- Bölünebilme kuralı ile ifadeyi sadeleştirme birçok soruda pratik çözümdür.
Başka bir örnek ister misin? Başka matematik sorusu varsa yardımcı olabilirim! 
x tam sayıdır. \displaystyle \frac{2x-7}{x-2} ifadesini tam sayı yapan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bölme ile ifade biçimine getirip kesirli kısmın tam sayı olması şartını kullanacağız:
\displaystyle \frac{2x-7}{x-2}=2-\frac{3}{x-2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi bölme ile sadeleştir
\displaystyle \frac{2x-7}{x-2}
2x-7=2(x-2)-3
\displaystyle \frac{2x-7}{x-2}=2-\frac{3}{x-2}
Adım 2 — Tam sayı şartını belirle
\displaystyle \frac{2x-7}{x-2} ifadesi tam sayı olabilmesi için
\displaystyle -\frac{3}{x-2}
ifadesinin tam sayı olması gerekir.
\displaystyle \frac{3}{x-2}\in \mathbb{Z}
Adım 3 — Bölenleri listele ve x değerlerini bul
Birinci durum:
x-2=1
x=3
İkinci durum:
x-2=-1
x=1
Üçüncü durum:
x-2=3
x=5
Dördüncü durum:
x-2=-3
x=-1
Adım 4 — Sonuçları say
Bulunan x değerleri: 3,\;1,\;5,\;-1
Bunların sayısı: 4
CEVAP: 4
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölünebilme: Bir rasyonel ifade tam sayıysa, kesirli kısmın paydasına göre payının tam bölünebildiği anlamına gelir.
- Bu problemde: \displaystyle \frac{3}{x-2} ifadesinin tam sayı olması gerekti.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hata: Paydanın 0 olduğu x=2 değerini dahil etmek.
- Doğru: x=2 tanımsız olduğu için hariç tutulmalıdır.
- Neden yanlış: Bölme tanımsız olur.
- Düzeltme: x=2 kontrol edilmemeli.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?