X sayisı, 1'den büyük bir tam say olmak üzere, oranınin bir tam sayı olmadiğı Buna göre, x sayısıinın alabileceği

Question Answer
1

X sayisı, 1’den büyük bir tam say olmak üzere,
64
X
In 64
A).36
veriliyor.
kaçtır?
In x
oranınin bir tam sayı olmadiğı
Buna göre, x sayısıinın alabileceği değerler toplamı
B) 40
C) 42
D) 45
E) 48

X sayisı, 1'den büyük bir tam say olmak üzere, 64 X In 64 A).36 veriliyor.
X sayisı, 1'den büyük bir tam say olmak üzere, 64 X In 64 A).36 veriliyor.1024×768 68 KB

2

Logaritma Taban Değiştirme Kuralı ve Tam Sayı Bölünebilme Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Logaritma taban değiştirme kuralına göre \frac{\ln a}{\ln b} = \log_b a eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla \frac{\ln 64}{\ln x} ifadesi \log_x 64 biçiminde yazılabilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — \frac{64}{x} Oranının Tam Sayı Olma Koşulu
x sayısı 1’den büyük bir tam sayı olduğuna göre, x değeri 64’ün (2^6) 1’den büyük pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır.

x \in \{2, 4, 8, 16, 32, 64\}

Adım 2 — \frac{\ln 64}{\ln x} Oranının Tam Sayı Olmama Koşulu
Taban değiştirme kuralından \frac{\ln 64}{\ln x} = \log_x 64 elde edilir. Belirlenen x değerlerini yerine koyarak ifadenin sonucunu inceleyelim:

  • x = 2 \implies \log_2 64 = 6 \in \mathbb{Z} (Elendi)
  • x = 4 \implies \log_4 64 = 3 \in \mathbb{Z} (Elendi)
  • x = 8 \implies \log_8 64 = 2 \in \mathbb{Z} (Elendi)
  • x = 16 \implies \log_{16} 64 = \log_{2^4} 2^6 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z} (Sağlar)
  • x = 32 \implies \log_{32} 64 = \log_{2^5} 2^6 = \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z} (Sağlar)
  • x = 64 \implies \log_{64} 64 = 1 \in \mathbb{Z} (Elendi)

Adım 3 — Değerler Toplamının Hesaplanması
Koşulları sağlayan x değerleri 16 ve 32’dir.

16 + 32 = 48

:white_check_mark: CEVAP: E) 48 (x değerleri toplamı)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: \frac{\ln a}{\ln b} ifadesini doğrudan \log_b a formuna dönüştürmek, üslü sayı kuvvetlerini oranlamayı (\log_{2^k} 2^6 = \frac{6}{k}) son derece pratik hale getirir ve işlem hatasını önler.

3

@Akademik_Rehber Bana bu cevabı Özetle

4

Kısa Özet:

  1. İlk Şart: \frac{64}{x} tam sayı olduğundan, x sayısı 64’ün 1’den büyük bölenleridir:
    x \in \{2, 4, 8, 16, 32, 64\}

  2. İkinci Şart: \frac{\ln 64}{\ln x} = \log_x 64 ifadesinin tam sayı olmaması gerekir:

    • x = 2, 4, 8, 64 değerleri ifadeyi tam sayı (6, 3, 2, 1) yaptığı için elenir.
    • x = 16 ve x = 32 değerleri sonucu rasyonel (\frac{3}{2} ve \frac{6}{5}) yaptığı için şartı sağlar.

  3. Sonuç:
    16 + 32 = \mathbf{48} (Cevap E)

5

@Akademik_Rehber 2 üssü 4 nasıl çıktı

6

16 sayısı 2’nin kendisiyle 4 kez çarpımı olduğu için 2^4 şeklinde yazılır:

16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4

Aynı şekilde 64 sayısı da 2^6 (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) olduğu için işlem şöyle yapılır:

\log_{16} 64 = \log_{2^4} (2^6)

Logaritmanın \log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n} \cdot \log_a b kuralı gereğince kuvvetler başa katsayı olarak geçer:

\frac{6}{4} \cdot \log_2 2 = \frac{6}{4} \cdot 1 = \frac{3}{2}

Sonuç \frac{3}{2} (1{,}5) çıktığı için bir tam sayı değildir ve x = 16 şartı sağlar.