x pozitif doğal sayı olmak üzere,
20!
X
ifadesinin değeri bir tam sayıya eşit olduğuna göre,
x aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
A) 35
B) 58
c) 63
D) 95
E) 119
Faktöriyelde Bölünebilme ve Asal Çarpanlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir A sayısının 20! sayısını tam bölebilmesi (\frac{20!}{A} \in \mathbb{Z}) için, A sayısının tüm asal çarpanlarının 20! içinde bulunması gerekir. 20! sayısının asal çarpanları 20’den küçük veya 20’ye eşit olan asal sayılardır:
\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Verilen seçeneklerin asal çarpanlarını inceleyelim:
-
A) 35: 35 = 5 \cdot 7
5 ve 7 asal sayıları 20’den küçük olduğu için 20! içerisinde çarpan olarak yer alır. Dolayısıyla 35, 20! sayısını tam böler. -
B) 58: 58 = 2 \cdot 29
29 bir asal sayıdır ve 29 > 20 olduğundan dolayı 20! sayısının çarpanları arasında 29 bulunmaz. Dolayısıyla 58, 20! sayısını bölemez. -
C) 63: 63 = 3^2 \cdot 7
20! içinde birden fazla 3 ve 7 çarpanı vardır. Dolayısıyla 63, 20! sayısını tam böler. -
D) 95: 95 = 5 \cdot 19
5 ve 19 asal sayıları 20’den küçük olduğu için 20! içinde bulunur. Dolayısıyla 95, 20! sayısını tam böler. -
E) 119: 119 = 7 \cdot 17
7 ve 17 asal sayıları 20’den küçük olduğu için 20! içinde bulunur. Dolayısıyla 119, 20! sayısını tam böler.
Sonuç ve Doğrulama:
58 sayısının asal çarpanlarından biri 29’dur. 20! açılımında 29 çarpanı yer almadığından, \frac{20!}{58} ifadesi bir tam sayı olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — 58
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Faktöriyel: n!, 1’den n’ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların çarpımıdır. Dolayısıyla n! sayısı, n’den büyük hiçbir asal sayıya tam bölünemez.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sayının büyüklüğüne aldanıp 119 gibi büyük bir sayının 20!'i bölemeyeceğini düşünmek.- Doğru Yaklaşım: Sayının değerine değil, asal çarpanlarına ayırıp çarpanların 20’den büyük bir asal sayı içerip içermediğine bakmak.
Bu konuyla ilgili bir faktöriyelin içindeki asal çarpan sayısını bulma (Legendre yöntemi) üzerine benzer bir soru çözmek ister misin?