n·m = -84. Çünkü eşitsizliğin çözüm kümesi R \ [-7, 3] olduğuna göre ikinci dereceden polinom yalnızca bu kapalı aralıkta ≤ 0 olur; dolayısıyla kökler -7 ve 3’tür. Polinom (x+7)(x-3) = x^2 + 4x + -21 → n = 4, m = -21, n·m = -84.
Önemli Noktalar
- Kökler: -7 ve 3.
- Polinom: (x+7)(x-3) = x^2 + 4x − 21.
- Sonuç: n·m = -84.
İçindekiler
- Köklerin Belirlenmesi
- Faktorizasyon ve Katsayılar
- Hızlı Kontrol
- Kısa Kontrol Listesi ve Örnekler
- Sık Sorulan Sorular
Köklerin Belirlenmesi
Çözüm kümesi R \ [-7, 3] ise polinomun pozitif olduğu tüm gerçekler dışındaki aralıkta negatif veya sıfırdır; bu durum bir açık aralıkta pozitif olma koşulunun tersidir ve köklerin aralığın uçları olduğunu gösterir. Yani x = -7 ve x = 3 kökleri vardır.
Pro Tip: Eşitsizlik sonucu “R \ [a,b]” şeklindeyse kökler genelde a ve b’dir (katsayı pozitif kabul edilir).
Faktorizasyon ve Katsayılar
Kökler bilindiğine göre:
(x − 3)(x + 7) = x^2 + 4x − 21.
Karşılaştırma ile n = 4, m = −21 bulunur. Buradan n·m = 4 · (−21) = −84.
Uyarı: Eğer baş katsayı 1 değilse ek sabit çarpan (k) olur; burada baş katsayı açıkça 1 olarak verildi.
Hızlı Kontrol
- Polinomun baş katsayısı pozitif ise grafik bir parabol; kökler arası değerler negatif veya sıfır olur.
- Kökleri bulup çarpımlarını kontrol edin: (-7)·(3) = -21 → sabit terim kontrolü uyuyor.
Kısa Kontrol Listesi ve Örnekler
- [ ] Çözüm kümesinden uç noktaları kök olarak al.
- [ ] Polinomu (x−x1)(x−x2) şeklinde yaz.
- [ ] Genişleterek n ve m’yi bulun.
- [ ] n·m hesapla (burada 4·(−21) = −84).
Pratik örnek: Eğer çözüm kümesi R \ [-2,5] olsaydı polinom (x+2)(x−5)=x^2−3x−10 olur; n=−3, m=−10, n·m=30.
Sık Sorulan Sorular
-
Bu yöntemi her zaman kullanabilir miyiz?
Evet, baş katsayı 1 ise ve çözüm kümesi R \ [a,b] şeklindeyse kökler genellikle a ve b olur; baş katsayı farklıysa ekstra bir sabit (k) gerekir. -
Eğer baş katsayı eksi olsaydı ne olurdu?
Baş katsayı negatifse parabol aşağı doğru açılır; o zaman eşitsizlik >0 için çözüm kümesi köklerin arasındaki değerler dışındaki aralık değil, köklerin aralığı olabilir — duruma göre işaret değişir. -
Sabit terim köklerin çarpımına nasıl bağlanır?
Genel durumda sabit terim = baş_katsayı × (kök1 × kök2). Baş katsayı 1 ise sabit terim doğrudan köklerin çarpımıdır.
Sonraki adım olarak benzer köklü eşitsizliklerden oluşan kısa bir test ister misiniz? @cemalorta098
x² + nx > 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi ℝ \ (-7, 3) İçin n Değeri
Önemli Noktalar
- İkinci dereceden eşitsizlik x² + nx > 0 için, parabol yukarı doğru açılır (a = 1 > 0).
- Çözüm kümesi ℝ \ (-7, 3) = (-∞, -7] ∪ [3, ∞) anlamına gelir; eşitsizlik, kökler dışında pozitif, köklerde sıfır ve aralıkta negatiftir.
- Kökler -7 ve 3 olmalıdır, ancak sabit terim 0 olduğundan çelişki vardır; muhtemel yazım hatası ile x² + 4x + m > 0 formu ve m = n olarak kabul edilir.
- Vieta formülleriyle: Kökler toplamı = -7 + 3 = -4 (x katsayısı = 4), çarpımı = (-7) × 3 = -21 (sabit terim n = -21).
x² + nx > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi ℝ \ (-7, 3) ise, negatif olduğu aralık (-7, 3) kökler arasındadır. Standart form x² + px + q > 0 için (p = n, q = 0), kökler 0 ve -n olur; ancak bu, (-7, 3) aralığını kapsamaz (çünkü bir kök 0’dır ve aralık 0’ı içerir). Bu çelişki, sorunun x² + 4x + n > 0 şeklinde (lineer katsayı sabit 4) olduğunu gösterir – YKS TYT’de yaygın bir formdur. Kökler -7 ve 3 için:
Vieta Denklemleri:
- Kökler toplamı = -4 = - (x katsayısı) → x katsayısı = 4 (uyumlu).
- Kökler çarpımı = -21 = n (sabit terim).
Denklem: x² + 4x - 21 = 0 → (x + 7)(x - 3) = 0, kökler -7 ve 3.
Eşitsizlik > 0 için çözüm: x < -7 veya x > 3, yani ℝ \ [-7, 3] ≈ ℝ \ (-7, 3) (sınır noktalarında =0, katı >0 için açık aralık).
n = -21 (D seçeneği).
Adım Adım Çözüm
- Kökleri Belirle: Negatif aralık (-7, 3), kökler -7 ve 3’tür (a > 0 için <0 aralığı kökler arası).
- Vieta Uygula:
- Toplam: r₁ + r₂ = -7 + 3 = -4 = -p → p = 4 (x katsayısı).
- Çarpım: r₁ × r₂ = -7 × 3 = -21 = q → n = -21 (eğer n sabit terimse).
- Doğrula: x² + 4x - 21 > 0
- Diskriminant: 16 + 84 = 100 > 0 (gerçek kökler).
- İşaret tablosu:
Aralık Test Noktası Değer İşaret (-∞, -7) -8 (+)(-) = - < 0? Hayır, >0 (-7, 3) 0 (+)(-) = - < 0 (3, ∞) 4 (+)(+) = + > 0 - Çözüm: (-∞, -7) ∪ (3, ∞).
- Seçenek Karşılaştırması:
- A) -96: Çarpım hatalı (ör. 7×(7+3)×2 gibi yanlış hesaplama).
- B) -84: 4×21 (toplam×çarpım).
- C) -42: 2×21 (yanlış katsayı).
- D) -21: Doğru (çarpım).
- E) -4: Toplam (kökler toplamı).
Özet Tablo
| Unsur | Değer/Detay |
|---|---|
| Kökler | -7, 3 |
| Toplam | -4 (x katsayısı = 4) |
| Çarpım | -21 (n = -21) |
| Diskriminant | 100 (√100 = 10, aralık uzunluğu) |
| Çözüm Kümesi | (-∞, -7) ∪ (3, ∞) |
| Doğru Seçenek | D) -21 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sabit terim 0 değil?
Soruda x² + nx > 0 yazsa da, çözüm kümesi (-7, 3) ile uyumsuz (köklerden biri 0 olmalı). Muhtemelen x² + 4x + n > 0 formu; YKS’de transkripsiyon hataları yaygın, Vieta ile -21 uyumlu.
2. Sınır noktaları neden dahil değil?
0 katı eşitsizlikte köklerde =0 olduğundan (-7, 3) hariç tutulur; çözüm açık uçlu. Soru notasyonu pratikte kapalı aralığı kasteder.
3. Diskriminant nasıl hesaplanır?
D = n² - 4×1×q, ama burada q = n = -21, lineer 4 için D = 16 - 4( -21) = 16 + 84 = 100.
Sonraki Adımlar
Bu eşitsizliği grafikle görselleştirmek için bir örnek mi istersin, yoksa benzer bir YKS sorusu (ör. farklı köklerle) çözeyim mi?