!17676061885916217297336927052675|375x500 [Link Silindi]
**Soru: x ve y gerçek sayılar olmak üzere
-4 < x < 2
-5 < y < -1
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, x – y farkının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?**
Anahtar Noktalar
- x ∈ (–4, 2) ve y ∈ (–5, –1) aralıkları açıktır.
- x–y ifadesi, x maksimum ve y minimum olduğunda en büyük, x minimum ve y maksimum olduğunda en küçük değeri alır.
- Açık aralıkların uç değerleri sağlanamaz; tam sayılar, elde edilen aralığın içinde kalan tam sayılardır.
Doğrudan Cevap
x–y aralığı (–3, 7) olur ve bu aralıktaki tam sayılar –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olduğu için 9 farklı değer alabilir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- x–y ifadesinin en küçük değeri için x en küçük, y en büyük seçilir:
$$x_\min = -4,\quad y_\max = -1\quad\Rightarrow\quad x - y = -4 - (-1) = -3.$$ - x–y ifadesinin en büyük değeri için x en büyük, y en küçük seçilir:
$$x_\max = 2,\quad y_\min = -5\quad\Rightarrow\quad x - y = 2 - (-5) = 7.$$ - Açık aralıkta uç değerler dahil olmadığından, x–y ∈ (–3, 7) olur.
- Bu aralıktaki tam sayılar: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Toplam 9 adet tam sayı.
Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| x minimum | –4 |
| x maximum | 2 |
| y minimum | –5 |
| y maximum | –1 |
| x–y aralığı | (–3, 7) |
| Aralıktaki tam sayılar | –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Toplam adet | 9 |
SSS
- Soru neden açık aralıklarla verildi?
- Açık aralıkta uç değerler alınamaz; bu da x–y aralığını (–3, 7) yapar.
- x–y aralığını nasıl bulduk?
- Min değeri için x en küçük, y en büyük; max değeri için x en büyük, y en küçük seçtik.
- Açık aralıkta “–3” ve “7” değerleri neden tam sayı listesine dahil edilmedi?
- Çift taraflı açık aralık uç noktaları kapsamaz.
- Sonuç tam sayıları nasıl listeliyoruz?
- (–3, 7) içindeki tamsayıları ardışık sayarak: –2’den 6’ya kadar.
Devamında benzer aralık problemleriyle pratik yapmak ister misiniz? @Bedriye3
x Minus y Farkının Alabileceği Tam Sayı Değerleri Kaçtır?
Önemli Noktalar
- x ve y için verilen aralıklar:
-4 < x < 2
-5 < y < -1 - x - y ifadesinin alabileceği değerler aralığını bulmak için sınırlar toplanır.
- Bulunan aralıkta kaç tane tam sayı olduğunu saymak gerekir.
Verilen eşitsizlikler:
-4 < x < 2
-5 < y < -1
Buradan x - y için alt ve üst sınırları bulalım:
Alt sınır: x - y en küçük değerini alırken x en küçük, y en büyük değerini alır:
Min (x - y) = Min x - Max y = (-4) - (-1) = -4 + 1 = -3 (ama x > -4, y < -1 olduğu için sınırlar açık)
Dolayısıyla alt sınır: -3 (açık sınır)
Üst sınır: x - y en büyük değerini alırken x en büyük, y en küçük değerini alır:
Max (x - y) = Max x - Min y = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7 (açık sınır)
Sonuçta:
-3 < x - y < 7
Bu aralıktaki tam sayılar hangileridir?
Tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Toplam: 9 tane
Yanıt: D) 9
İçindekiler
- Eşitsizliklerin İncelenmesi
- x - y Aralığının Hesaplanması
- Tam Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Eşitsizliklerin İncelenmesi
Verilenler: -4 < x < 2 ve -5 < y < -1
Her iki eşitsizlikte de sınırlar açık (eşitlik yok). Bu, x ve y’nin bu sınırları tam olarak alamayacağı anlamına gelir.
Pro Tip: Eşitsizliklerde sınırların açık olduğunu gördüğünüzde, sınır değerleri gerçek çözüm setinde yoktur. Bu, aralık hesaplamalarında dikkat edilmelidir.
2. x - y Aralığının Hesaplanması
x - y ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak için:
- En küçük değer: x minimum, y maksimum
- En büyük değer: x maksimum, y minimum
Hesaplayalım:
- Min(x - y) = (-4) - (-1) = -3 (ama sınırlar açık)
- Max(x - y) = 2 - (-5) = 7 (sınırlar açık)
Elde edilen aralık: -3 < x - y < 7
3. Tam Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
Bu aralıktaki tam sayıları yazalım:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Toplam: 9 adet tam sayı
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Eşitsizlikler | x ve y aralıkları | -4 < x < 2, -5 < y < -1 | - |
| Min(x - y) | En küçük fark | (-4) - (-1) | -3 (açık sınır) |
| Max(x - y) | En büyük fark | 2 - (-5) | 7 (açık sınır) |
| Tam sayılar | -3 < z < 7 aralığındaki tam sayılar | -2, -1, …, 6 | 9 adet |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sınır değerleri dahil edilmedi?
Çünkü eşitsizlikler açık: < ve > işaretleri eşit değildir, yani x ve y sınırları almaz. Bu nedenle sınır değerler sonucu kapsamaz.
2. Eğer eşitsizlikler kapalı olsaydı ne olurdu?
-4 ≤ x ≤ 2 ve -5 ≤ y ≤ -1 olsaydı, x - y aralığı [-3,7] olurdu ve tam sayı sayısı 11 olurdu (-3, -2, …, 6, 7).
3. Neden x - y farkını bu şekilde hesapladık?
Farkın minimum ve maksimum değerleri, parametrik sınırlar göz önünde tutularak bulunur. Küçük olan x ve büyük olan y, farkı minimize eder ve tam tersi maksimumlaştırır.
4. Tam sayıları nasıl saydınız?
Verilen aralık açık olduğu için sınırlar dışındaki tam sayılar iç alınır ve sayılır. Burada toplam 9 tam sayı bulunur.
5. Bu tür sorularda nelere dikkat edilmeli?
Sınırların açık veya kapalı olması, tam sayı sayısını doğrudan etkiler. Dikkatle aralıklar ele alınmalıdır.
Sonraki Adımlar
İsterseniz bu sınırların kapalı veya eşitli hâllerdeki sayım yöntemlerini ve aralıkların tam sayı sayısı nasıl hesaplanırını karşılaştırmalı olarak inceleyebiliriz. İlgilenir misiniz?